- •Раздел 1
- •Раздел 2
- •Примеры
- •1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .
- •2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .
- •15 Вопрос Задача о касательной
- •18 Вопрос Производная сложной функции
- •19 Вопрос Производная обратной функции
- •21 Вопрос
- •25 Вопрос Общая схема исследования функции и построения ее графика.
- •29 Вопрос
- •38 Вопрос Свойства определенного интеграла
38 Вопрос Свойства определенного интеграла
-
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .
-
Интеграл от алгебраической суммы 2х функций равен такой же сумме интегралов от этих функций: .
-
При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный: .
4) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей: .
5) Если на отрезке , где , , то и , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
6) Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такое значение , что .
Т.о. теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка из отрезка , что площадь под кривой равна площади прямоугольника со сторонами и .
39 вопрос Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда исходя из геометрического смысла определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми (рис. 10.2) численно равна определенному интегралу:
40 вопрос. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от непрерывной функции на полуинтервале называется предел интеграла при стремящемся к :
. Если этот предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.
При работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:
-
исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
-
вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.
Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.
Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, а именно.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования обозначается символом
, где .
В курсе теории вероятности встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера-Пуассона. Доказано, что .