4.5. Потенциальная энергия частицы в силовом поле.

То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциальной энергии, называемой еще функцией состояния.

Возьмем стационарное поле консервативных сил, например электростатическое поле, в котором мы перемещаем частицу (заряд) из разных точек в некоторую фиксированную точку О (точку отсчета). Найдем работу сил поля. Поскольку она не зависит от пути, то остаётся зависимость её только от положения т., поскольку положение т. О— фиксировано, т.е. зависит от пределов интегрирования. Это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиуса-вектора точки :

(*).

Функцию называют потенциальной энергией частицы в поле сил.

Теперь найдем работу при перемещении частицы из т.1 в т.2. Поскольку она не зависит от формы пути, то путь можно выбрать проходящим через т. О, тогда или с учетом (*) и обозначений:

; ;

(**)

Правая часть выражения представляет собой разность начального и конечного значений потенциальной энергии, т.е., убыль потенциальной энергии частицы.

По определению называют приращением, а убылью энергии. Т.о., работа сил поля на пути 1—2 равна убыли потенциальной энергии частицы на этом пути.

Из формулы (**) видно, что работа сил поля определяется лишь разностью энергий в двух точках, а не их абсолютными значениями, значит, частице в т. О можно приписать произвольное, наперед выбранное значение потенциальной энергии. Однако, как только зафиксирована потенциальная энергия частицы в одной, какой-либо точке, её значения во всех остальных точках поля определяются однозначно выражением (**).

Эта формула позволяет найти вид потенциальной энергии для любого стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу совершаемую силами поля между двумя любыми точками и представить её в виде убыли некоторой функции расстояния, которая и есть потенциальная энергия. Так и было ранее сделано при вычислении работы гравитационной, упругой и силы тяжести. Видно, что потенциальная энергия частицы в данных полях имеет вид :

—в поле гравитационной, кулоновской силы.

— в поле упругой силы.

— в поле силы тяжести.

Отметим еще раз, что потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой постоянной величины, что несущественно, т.к. во всех формулах входит разность её значений в двух положениях частицы, поэтому постоянная выпадает, и её опускают.

Кроме этого важно заметить, что потенциальную энергию следует относить не к частице в поле, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тела, создающего силовое поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия зависит только от положения частицы относительно этого тела.

4.6. Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля.

Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать двумя способами: с помощью понятия силы или с помощью понятия потенциальной энергии. Первый способ более общий , т.к. он применим и к силам, для которых нельзя ввести понятие потенциальной энергии (силы трения, например). Второй способ применим к консервативным силам, для которых введено понятие потенциальной энергии. Он удобен тем, что между потенциальной энергией и силой со стороны поля существует определенная связь. Зная эту связь, можно по виду зависимости — функции положения частицы в поле, находить поле сил .

Найдем эту связь. Известно, что работа консервативных сил при перемещении частицы из одной точки поля в другую может быть представлена в виде убыли потенциальной энергии частицы . Это можно также записать и для элементарного перемещения .

, т.е.

Как видно из рисунка, ; — элементарный путь. Значит, ; Здесь величина есть убыль потенциальной энергии в направлении перемещения ; Отсюда:

т.е. проекция силы , действующей на частицу в данной точке поля, на направление перемещения равна убыли потенциальной энергии частицы в этом направлении. Символ указывает на то, что производная берется по определенному направлению.

Перемещение можно брать в любом направлении, например, вдоль осей координат. Если перемещение происходит вдоль оси то ; а , — проекция силы на орт (а не на перемещение , как в случае ). Тогда, относительно оси можно записать:

. Символ означает, что при дифференцировании должна рассматриваться как функция только одного аргумента , а остальные аргументы должны оставаться при этом постоянными. Для проекций силы на другие оси выражения будут аналогичными: ; .

Зная проекции можно найти и сам вектор или .

Выражение в скобках называется градиентом скалярной функции , и обозначается или .

— символический вектор или оператор Гамильтона. Действие этого оператора на скалярную функцию — формально можно рассматривать как произведение символического вектора на скаляр .

Таким образом, между силой со стороны поля и потенциальной энергией как функцией координат существует зависимость:

сила, действующая со стороны поля на частицу равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля. Эта формула позволяет, зная зависимость , найти вид зависимости .