- •Вопросы по математической логике и теории алгоритмов (автф, III семестр)
- •Вопрос 1. Формальные исчисления. Выводы в исчислении. Теорема исчисления. Разрешимые и непротиворечивые исчисления.
- •Вопрос 2 Исчисление высказываний ив. Теорема о замене
- •Вопрос 3. Основные эквивалентности (ив) формулы ,аксиомы и правила вывода. Понятия док-ва ,дерево док.. Теор. О дедукции.
- •4.Cимантика исчисление высказываний.Непротиворичивость ив.Таблицы истиности.Общезначимые и выполнимые формулы.Теорема о полноте.РазрешимостьИв.
- •5.Семантическое дерево. Алгоритм Квайна и алгоритм редукции проверки общезначимости формул.
- •Вопрос 6. Метод резолюций в ив. Правило согласия. Метод резолюций для
- •Вопрос 7. Алгебраические системы. Формулы сигнатуры Подформулы. Свободные и связанные переменные. Предложения. Истинность формулы на элементах алгебраической системы.
- •Вопрос 8. Общезначимые и выполнимые формулы. Теорема об общезначимости формул сигнатуры σ, соответствующих общезначимым формулам ив. Выполнимое множество формул. Теорема компактности.
- •Вопрос 9.
- •Теорема о существовании модели. Для любого непротиворечивого мн-ва формул г сигнатуры
- •Вопрос 10. Основные эквивалентности .
- •Вопрос 11. Элементарные теории. Сис-ма аксиом теории ….
- •Вопрос 12. Сис-ма аксиом арифметики Пеано…..
- •#13. Подстановка сигнатуры σ. Композиция подстановок. Унификатор и наиболее общий унификатор. Алгоритм унификации. Теорема об алгоритме унификации.
- •Метод резолюции в исчислении предикатов
- •Алгоритм унификации
- •Вопрос 14.
- •16.Понятие алгоритма, основные признаки алгоритма. Вычислимые функции и тезис Чёрча.
- •Вопрос 17. Определение машины Тьюринга
- •Вопрос 18. Основные машины Тьюринга.
- •Вопрос 19. Вычисление функций на машинах Тьюринга.
- •Вопрос 20. Понятие примитивно рекурсивной функции. Основные примеры. Простейшие прф:
- •Вопрос 21.Примитивно рекурсивные отношения, основные преобразования над ними…
- •Вопрос 22. Нумерация n-ок натуральных чисел примитивно рекурсивными ф-ями.
- •Вопрос 23. Частично рекурсивные и рекурсивные функции. Теорема об элиминации.
- •Вопрос 24. Вычислимость чрф на машинах Тьюринга.
- •Вопрос 25. Частичная рекурсивность функций , вычислимых на машинах Тьюринга.
- •Вопрос 26. Универсальное чрф. Теорема роб универсальности. Теорема Райса.
- •Вопрос 27. Геделевская нумерация формул, аксиом и правил вывода исчисления предикатов. Рекурсивно перечислимые множество…
- •Вопрос 28. Временная и ленточная сложности мт, вычисляющей заданную функцию. Теоремы о верхней границе сложности вычислений. Теорема об ускорении
- •Вопрос 29. Эффективности вычислений:
- •Метод сводимости:
- •Вопрос 30.Понятие переборной задачи. Универсальные переборные задачи. Примеры.
- •Вопрос 31. Основные алгоритмы сортировки и их сложность.
- •Вопрос 32. Детерминированные и недетерминированные конечные автоматы, связь м/у ними.
- •Вопрос 33. Неклассические логики
- •Предикатные логики
Вопрос 31. Основные алгоритмы сортировки и их сложность.
а) сортировка вставками
Простые вставки: К1K2…Kj-1 – упорядоченно. Кj сравнивается с Kj-1, Kj-2 и т.д. до тех пор, пока не найдется i: Ki Kj Ki+1. Время работы 2,25N2+7.75N
Бинарные вставки: Сравниваем Kj с Kj/2. Время работы Nlog2N
б) обменная сортировка
Метод пузырька: К1 сравниваем с К2 и меняем R1и R2, если ключи не упорядочены. При многократном повторении Эл-ты больше всплывают на поверхность. Время работы 7,5N2+0.5N+1
в)посредством выбора
Сложность алгоритма: 2.5N2+3.5N
Выигрыш: производится мало пересылок данных
г) подсчетом
Сравниваем Kj с Ki , 1j<i
Счетчики С[1],…C[N]
Ki<Kj ==> увелич. C[j] на 1
KiKj ==> увелич. C[i] на 1
C[j] указывает на то место, на которое должна быть расположена запись Rj.
Время работы: N(N-1) Порядка N2: 3N2+10N
Вопрос 32. Детерминированные и недетерминированные конечные автоматы, связь м/у ними.
Детерминированный конечный автомат
M=<Q,∑,t,q0,F,P> где
Q-непустое конечное мн-во состояний
∑-Конечный входной алфавит
t:Qx∑→Q – ф-ия перехода
q0 Є Q – начальное состояние
F (подмн-во) Q – мн-во заключ. Состояний
p:Qx∑→∑ - функция выходов
W Є W(∑), W=S1…Sn – входная посл-ность
Начиная из состояния q0, если qi=f(q0,s1), то под действием
входного действия s1 автомат переходит в состояние qi.
Если (q0,s1) Є δp, то при переходе в состояние qi, на
выходе появляется p(q0,s1). f(qi,s2)=qj => осуществляет
переход в состояние qj c выводом значения p(qi,s2)
Процесс продолжается до символа Sn, или до тех пор
пока не встретится символ ∑
Входная посл-ть W наз. представимой автоматом М, если
состояние в которое переходит автомат после работы,
принадлежит множеству F.
Недетерминированные конечные автоматы
t:Qx∑→ρ(большая)(Q)
f(qi,s) (подмножество) Q
Возникает выбор состояния: куда идти дальше
A(M) – множество слов, представимых автоматом M.
M=<Q, ∑,t,q0,F>
W ЄW(∑), W=S1…Sn
T(W)-мн-во всех заключительных состояний, кот.
дlостижима под действием входной посл-ти W.
T(_/\_)={q0}
T(W’,Sk)=Uf(q,sk) qЄT(W’)
W представимо в M, если T(W)∩F#0
A(M)={W|T(W) ∩ F#0}
Теорема: Для любого недетерминированного к.а. М1
сущ. детерм. к.а. М2, т.ч. А(М1)=А(М2)
Док-во: M1=<Q1, ∑1,t1,q0,F1>; M2=<Q2, ∑2,t2,q0,F2>
Q2= ρ(большая)(Q1)={x|x (подмн-во) Q1}
∑2=∑1, q0’={q0}
f2(q0’,s1)=мн-во всех состояний в f1(q0,s1)
f2(f2(q0’,s1),s2)=мн-во всех состояний в кот можно попасть
из f1(q0,s1) под действием S2
F2-подм-во Q1 содержания символа из F1 и является
результатом применения функции t2.
Вопрос 33. Неклассические логики
Тезис Гильберта. Любое док-во можно провести в рамках ИП.
Пропозициональные логики.
-
Многозначные логики.
- ф-ла ИВ, C R
[0, 1]
f() = C, 0C1
степень достоверности высказыв.
f(12) = min{ f(1), f(2)}
= max
f(1) = 1-f(1)
-
Теория вероятностей.
- ф-ла ИВ, Pr() = c, 0C1
Pr – вероятность наступления события
-
Модальная логика.
Модальность – св-во суждения характеризующ. степень его достоверности
(необходимо)
ИВ+связки
(возможно)
Аксиомы: 1) если |- док-ма, то |- ; 2) |- ()
-
Индуиционистская логика
N |=x (x)?
найдется nN |= (n)