- •§ 1. Пространство и его подмножества
- •§ 2. Функция n переменных, ее предел и непрервность
- •§ 3. Частные производные и дифференциал функции n, n2,
- •Обозначают введенную этим определением частную производную символами fх′(m0) или fх′(x0,y0) , а также
- •§ 4. Неявные функции.
- •§ 5. Свободный экстремум функции нескольких переменных
- •Пусть , а - любое, удовлетворяющее условиям . Взяв , удовлетворяющее указанным условиям, выберем для этого число такое, что и обозначим: . Имеем: , причём ;
- •§ 6. Условный экстремум
- •6. 3. Метод Лагранжа
- •В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем:
- •Литература
- •§ 1. Пространство и его подмножества
- •Пространство …………………………. 3
- •§ 2. Функция n переменных, её предел и непрерывность
- •§ 3. Частные производные и дифференциалы
- •§ 4. Неявные функции
- •§ 5. Свободный экстремум функции нескольких переменных
- •§ 6. Условный экстремум
§ 5. Свободный экстремум функции нескольких переменных
5.1. Основные определения.
Пусть Х - открытое множество в пространстве , х0 = () - - точка, принадлежащая Х, f (x) = f (x1,x2 , …, xn) – функция, определённая на множестве Х.
Определение 1. х0 назовём точкой минимума (точкой максимума) фун- кции f , если можно указать δ >0 такoe, что при всяком х, принадлежащем δ- -окрестности ( δ), справедливо неравенство f (x) ≥ f (x0) (f (x) ≤ f (x0) ).
Определение 2. х0 назовём точкой строгого минимума ( точкой строгого максимума) функции f, если если можно указать δ >0 такoe, что при всяком х, принадлежащем проколотой δ-окрестности ( δ), справедливо строгое неравенство f (x) > f (x0) (f (x) < f (x0) ).
Точки максимума и минимума функции называют точками её экстре- мума; точки строгого максимума и строгого минимума – точками строгого экстремума функции.
Пример 1. Начало координат, точка О (0,0) является для каждой из функций двух переменных f1(x,y) = , точкой строгого экстремума: для первой и третьей функций точ- кой строгого минимума, а для второй - точкой строгого максимума. Графики этих функций (параболоид, полусфера, конус) изображены на рис. 11),12)и 13).
Ниже мы рассматриваем следующую задачу: пусть функция f опреде- лена на некотором открытом множестве Х ; требуется выяснить, имеет ли f на этом множестве точки экстремума; в случае наличия таких точек классифицировать их ( максимум или минимум).
5.2. Необходимые условия экстремума.
Решение поставленной выше задачи начинают с отыскания точек, в которых выполнены необходимые условия экстремума.
Теорема 1. Пусть х0 = ( ) является точкой экстремума функции f (x) = f (x1,x2 , …, xn). Если f дифференцируема в х0 , то в точке х0 все частные производные первого порядка функции f равны нулю.
► Функция f дифференцируема в х0 , значит (см. [3], стр.18), в точке х0 существуют частные производные по всем аргументам функции f. Докажем равенство нулю частной производной по аргументу х1 :. По опреде- лению ( [3], стр.18) = (), где f (t, ). Функция f оп- ределена в окрестности х0 и имеет в этой точке экстремум; поэтому функ- ция определена в окрестности точки , т.е. на некотором интервале чис- ловой оси, содержащем число , причем является точкой экстремума функции . В силу теоремы Ферма ([2], стр. 19 ) () = 0, т.е., . Аналогично докажем равенство нулю частных производных и по другим аргументам. ◄
Следствие. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке х0 . Если хотя бы одна из частных производных отлична от нуля, х0 заведомо не является точкой экстремума,.
Опрееделение 3. Точку х0 назовём стационарной точкой функции f , если f дифференцируема в х0 , а все её частные производные первого порядка в этой точке f равны нулю.
Замечание . Пусть функция f (x) = f (x1,x2 , …, xn) дифференцируема в точке х0, х0 = ( ). Точка х0 является стационарной точкой функ- ции f тогда и только тогда, когда первый дифференциал тождествен- но равен нулю (т.е. для любого).
►Пусть х0 является стационарной точкой, т.е. ,; тогда при всяком имеем: С другой сто- роны, пусть при всяком . Положим . Для этого вектора имеем: . Положив получим: . Аналогично докажем равенство нулю частных производных и по другим аргументам функции. ◄
Пусть функция f (x) определена на некотором открытом множестве Х, Х . Точку х0 назовем точкой, подозрительной на экстремум функции f , если либо 1) х0 является стационарной точкой этой функции, либо 2) f не- дифференцируема в х0 . Из теоремы 1. вытекает, что только в таких точках функция может иметь экстремум. Но не всегда подозрительная на экстремум точка оказывается точкой экстремума на самом деле.
Пример 2. Легко проверить, что для функции начало координат О (0,0) есть её стационарная точка. Однако, точкой экстремума она не является: , а в любой окрестности точки О(0,0) имеются как точки, в которых значения функции положительны, так и точки, где функ- ция принимает отрицательные значения; это становится достаточно очевид- ным при взгляде на график функции – гиперболический параболоид (рис. 14)).
5.3. Достаточные условия экстремума.
Исследование функции на экстремум начинают с отыскания точек, по- дозрительных на экстремум – только в таких точках функция может иметь экстремум. Является ли подозрительная точка точкой экстремума на самом деле, выясняют с помощью достаточных признаков. Теорема 2 - один из та- ких признаков; им пользуются, исследуя стационарные точки. Предвари- тельно сделаем ряд замечаний.
Согласно определению 1 х0 является точкой минимума (точкой максимума) функции f , если можно указать δ >0 такое, что при всех х ( δ), справедливо неравенство f (x) - f (x0) ≥0 (f (x) - f (x0) ≤0 ) . Поло- жим h = x – x0; тогда x =x0 +h и .Заме- тим: () ( ||h|| < δ ). Теперь нетрудно заключить:
I. x0 является точкой минимума (максимума) функции f тогда и только тогда, когда можно указать δ >0 такое, что при всех h , удовлетворяющих условию ||h|| < δ , справедливо неравенство ≥ 0 (≤ 0).
Из определения 2 аналогично следует:
II. х0 является точкой строгого минимума (строгого максимума) функ- ции f тогда и только тогда, когда можно указать δ >0 такое, что при всех h , удовлетворяющих условию 0 < ||h|| < δ , справедливо строгое неравенство > 0 (< 0).
Справедливо также утверждение:
III. Если при всяком δ >0 можно указать h1 и h2 такие, что ||h1|| < δ, ||h2|| < δ, а соответствующие приращения и отличны от нуля и имеют противоположные знаки, то х0 не является точкой экстремума функции f.
► Действительно, в этом случае нельзя указать δ >0 так, чтобы при всех h, удовлетворяющих требованию ||h|| < δ , соответствующие приращения были бы числами одного знака. В силу утверждения I. х0 не может быть ни точкой минимума, ни точкой максимума. ◄
Пусть функция f дважды дифференцируема в точке x0 .Запишем диффе- ренциал второго порядка функции f в точке x0:
, где h = (h1,h2. …,hn). Это выражение представляет собой квадратичную фор- му от n переменных h1,h2,…,hn. Напомним, что квадратичнная форма может быть либо знакоопределенной, положительно или отрицательно, либо квази- знакоопределенной, либо знакопеременной ([4],стр. 8).
Теорема 2. (Достаточный признак экстремума) Пусть х0 является стационарной точкой функции f и пусть f дважды дифференцируема в неко- торой окрестности этой точки. Тогда:
-
если - положительно определенная квадратичная форма, то х0 является точкой строгого минимума функции f ;
-
если - отрицательно определенная квадратичная форма, то х0 является точкой строгого максимума функции f ;
-
если - знакопеременная квадратичная форма, то х0 не яв- ляется точкой экстремума функции f .
► Выберем ε >0 такое, чтобы f была дважды дифференцируема в ε –окрестности ( ε). По теореме Тейлора-Пеано (см. [3], стр.32, при m= 2) при всяком х, принадлежащем ( ε), имеем :
(1)
Здесь h= x- x0 , Заметим: f(x) - f(x0) = f(x0+h) - f(x0) = . Так как х0 – стационарная точка, то df(h)≡0. Из (1) получим:
+ , (2) где , а h = (h1,h2. …,hn).
Пусть h такое , что 0 < . Обозначим: u=. Заметим: ||u|| = 1, и если u = (u1,u2, … ,un), то uk = , k = 1,2, … , n. Из (2) следует:
= + = == = == , (3) где при h → 0.
Обозначим через S единичную сферу в пространстве - совокуп- ность тех элементов пространства , норма которых равна единице: S = . Квадратичная форма - непрерыв- ная функция. По теореме Вейерштрасса ([3 ], стр.15 ) достигает на ог- раниченном замкнутом множестве S своего наименьшего и своего наиболь- шего значений – обозначим их через m и M соответственно. Значит, на S существуют точки h* и hтакие, что
, M =
Так как u S, справедливы неравенства m ≤ ≤ M, и, следова- тельно (см. (3) ), при всяком h , 0 < , имеем :
||h|| ≤ ≤ ||h|| (4)
-
Пусть - положительно определенная форма, т.е. её значе- ние положительно на любом элементе пространства ,отличном от 0 .
Заметим: m >0, ибо m=, а h*≠ 0 ( ведь ||h*|| =1) . Так как при h → 0, можно подобрать δ , 0 < δ < ε, так, что при всяком h таком,что 0 < ||h|| < δ будет выполнено m. Отсюда и из (4) следует: при всех h , 0 < ||h|| < δ, справедливо > 0. Значит (см. II) х0 явля- ется точкой строгого минимума функции f .
-
Пусть - отрицательно определенная форма, т.е. её значение отрицательно на любом элементе пространства ,отличном от 0 .
Заметим: M < 0, ибо M , а h ≠ 0. Найдётся δ , 0 < δ < ε, такое, что при всех h , удовлетворяющих требованиям 0 < ||h|| < δ справедливо |M|. Из (4) следует, что при тех же h справедливо < 0. Зна- чит (см. II), х0 является точкой строгого максимума функции f .
-
Пусть - знакопеременная квадратичная форма и пусть h′ = =и h″ =такие, что ( h′)>0, ( h″)<0.
Положим h = t h′, где R . Заметим: h = (h1,h2. …,hn), где hk = t, k = 1,2, … ,n. При всех R
==. Таким образом, при всех . Кроме того, из (2) следует: = +
= + . Так как при , существует , такое, что при вы- полняется <. Из = теперь сле- дует: при всех , , справедливо .
Положив h = t h″, где R , аналогично получим: при всех :
< 0 .; = . Существует, такое, что при выполняется <|| Из = вытекает: при всех , справед- ливо .