1 Рис. 109 6.16. Гармонический анализ периодических движений.

Из изложенного выше материала следует, что в результате сложения гармонических колебаний можно получить периодическое, но негармоническое колебание. В конце прошлого века Фурье доказал, что справедливо и противоположное утверждение: любое периодическое движение можно представить в виде суммы гармонических составляющих. Математически это представление называется рядом Фурье.

Согласно Фурье, любой периодический процесс , протекающий с частотой может быть представлен бесконечным тригонометрическим рядом

(341)

или

(342)

При анализе периодических движений оба представления Фурье эквивалентны. Мы

будем пользоваться разложением Фурье в форме₍₃₄₁₎

На амплитуды отдельных гармонических составляющих накладываются определённые ограничения, и они вычисляются по приведенным ниже соотношениям:

(343)

и

(344)

где а пределы интегрирования определяются тем промежутком, в котором определена сама изучаемая функция . В приведенном случае функция определена в промежутке .

Постоянная разложения в ряд Фурье определяется из соотношения:

(345)

При вычислении коэффициентов Фурье и часто бывает полезно пользоваться тем, что если функция четная в промежутке , т.е. , то

(346)

а если функция нечётная, т.е. , то

(347)

Пользуясь этими общими правилами вычисления коэффициентов Фурье, рассмотрим разложение в тригонометрический ряд нескольких частных типов периодических колебаний, часто встречающихся в практике физических измерений и работе различных приборов.

а) Колебания прямоугольной формы. Колебания прямоугольной формы (рис. 110) могут быть представлены функцией

, в промежутке и в промежутке , т.е. функция в данном

с

Рис.108

лучае является нечётной. Вне указанного промежутка функция повторяется с периодом , является периодической.

Т

Рис.110

ак как исследуемая функция является нечётной, то в соответствии с (347) постоянный член разложения Фурье равен

(348)

Из соотношения (343)определяем коэффициенты Фурье :

(349)

Коэффициенты Фурье определяются из (344):

Как видно, коэффициенты принимают различные значения в зависимости от номера члена ряда (номера гармоники). Для нечётных гармоник (нечётных значений k)

(350)

а для четных

(351)

Учитывая полученные значения коэффициентов разложения в ряд Фурье (348), (349), и (350), можно окончательно записать ряд Фурье для колебаний прямоугольной формы в виде

(352)

Заметим, что разложение Фурье для этого случая состоит только из нечётных гармоник, амплитуды которых уменьшаются обратно пропорционально номеру гармоники.

б) Колебания пилообразной формы

Периодические колебания пилообразной формы, представленные на рис. 111, можно описать функцией , определяемой в промежутке . При других значениях аргумента функция повторяется с периодом .

Рис.111

Как видно, , т.е. функция является нечётной, поэтому из (347) следует, что

(352).

Коэффициенты Фурье определяется в соответствии с (343)

(353).

Значение интеграла удобно находить по правилу интегрирования по частям. По этому правилу, если подынтегральное выражение можно представить в виде , то с точностью до постоянной интегрирования можно записать:

(354).

Полагая и , находим далее, что , а . Используя правило (354) интегрирования по частям, можно записать, что (с точностью до постоянной интегрирования)

(355).

Учитывая это, значения коэффициентов в форме (353) перепишем в виде

(356).

Коэффициенты определяются из (354):

(357).

Интегралы записанного вида также удобно находить по правилу интегрирования по частям. В этом случае полагаем . Учитывая это, получаем далее, что . С учётом этих обозначений и используя правило (354), получаем:

Таким образом, коэффициенты Фурье при чётных значениях равны

(358)

а при нечётных

(359)

С учётом найденных коэффициентов (352),(356),(358), и (359) разложение в тригонометрический ряд Фурье колебаний пилообразной формы записывается в виде

(360)

в) Колебания треугольной формы

Колебания треугольной формы (рис.112) описываются функцией , определённой в промежутке и , определённой в промежутке . Так как , функция является чётной, а для чётной функции по (346)

(361)

Прежде всего определим по (345) значение постоянного члена разложения:

(362)

Определяем далее по (343) коэффициенты :

В этом выражении значения интегралов находим по правилу интегрирования по частям, как в предыдущем случае:

Для чётных значений

(363)

а для нечётных

Используя найденные значения коэффициентов , и, записываем разложение Фурье для колебаний треугольной формы в виде

(365)