- •16.22.2. Колебания системы с различными парциальными частотами.
- •Из последних соотношений находим значение :
- •16.22.3. Колебания системы с двумя степенями свободы при наличии трения.
- •16.22.3.1. Изучение колебаний системы с одинаковыми парциальными частями.
- •16.22.3.2. Колебания системы с различными парциальными частями.
- •16.22.4. Энергия колебаний системы при отсутствии трения.
- •16.22.5. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы при отсутствии трения.
- •17. Упругие волны.
- •17.1. Распространение упругих возмущений в твёрдом теле.
- •17.2. Отражение упругих импульсов от границы раздела сред.
- •17.3.Уравнение плоской волны, движущейся в определённом координатном направлении.
- •17.4. Уравнение плоской волны, движущейся в произвольном направлении в пространстве.
- •17.5. Продольные волны в твёрдом теле. Волновое уравнение.
- •17.6. Упругие волны в газах. Волновое уравнение.
- •17.7. Прохождение продольных волн через границу раздела сред.
- •17.8. Некоторые особенности волнового процесса.
- •17.9. Интерференция волн.
- •17.10. Стоячие волны.
- •17.11. Энергия волны. Вектор Умова.
- •17.12. Элементы акустики.
- •17.13. Акустические резонаторы.
- •17.14. Эффект Доплера в акустике.
- •17.15. Инфразвук и ультразвук.
Из последних соотношений находим значение :
Отсюда получаем значения нормальных частот:
С равнивая парциальные частоты с одной из нормальных частот , получим:
С ледовательно, обе парциальные частоты меньше частоты нормальных
к олебаний .Точно так же сравниваем значения парциальных частот с другой нормальной частотой - .
Таким образом, обе парциальные частоты больше второй нормальной частоты. Отсюда можно сформулировать следующую характерную особенность колебательных систем с несколькими степенями свободы: значения парциальных частот заключены в промежутке между значениями нормальных частот.
16.22.3. Колебания системы с двумя степенями свободы при наличии трения.
Изучение колебаний системы с двумя степенями свободы при наличии трения проведём на примере уже рассмотренной модели (рис. 131). В отличие от предыдущих случаев, учтём и силы вязкого трения, действующие на каждое из тел системы. Как и при отсутствии трения, изучение колебаний системы рассмотрим отдельно для одинаковых и различных парциальных частей.
16.22.3.1. Изучение колебаний системы с одинаковыми парциальными частями.
В этом случае жесткости собственных пружин отдельных частей одинаковы:
Предположим, что в произвольный момент времени первое тело смещено от его положения равновесия
на , и движется со скоростью . Второе тело имеет смещение , а скорость его
р авна . Тогда на первое тело действует сила упругости собственной пружины , сила упругости пружины связи и сила вязкого трения ,
н аправленная против скорости и пропорциональная первой степени её, где - коэффициент трения. На второе тело действует сила упругости собственной пружины , сила упругости пружины связи и сила вязкого трения . По второму закону динамики можно записать уравнения движения для каждого тела:
Разделив обе части каждого из уравнений на массу и вводя обозначение , уравнения движения перепишем в виде:
Для решения уравнений движения введём новые переменные:
С кладывая и вычитая исходные уравнения, получим дифференциальные уравнения в новых переменных:
Э ти уравнения аналогичны по форме дифференциальным уравнениям затухающих колебаний для колебательных систем с одной степенью свободы, поэтому их решения запишем сразу в виде:
П ереходя теперь к прежним переменным, находим в общем виде законы движения тел системы:
Частоты отдельных составляющих ω1 и ω2 как это легко показать из (407) и (408), равны:
При найденных законах движения отдельных тел системы их скорости для произвольного момента времени равны:
В исходный момент времени t = t0 = 0 значения начальных смещений и скоростей равны:
Для определения амплитуд отдельных составляющих и начальных фаз начальные условия удобнее переписать в виде:
Из этих выражений легко подучить искомые величины:
Выражения (409), (410), (411), (412) позволяют записать конкретные законы движения тел системы в различных частных случаях.
а). Оба тела отводятся от их положений равновесия на одно и то же расстояние А в одну сторону и без толчка отпускаются. Начальные смещения и начальные скорости тел в этом случае равны: х10 =х20= А , v10 =v20=0.
Как следует из (410), амплитуда второй составляющей колебания обращается в нуль, и оба тела будут совершать затухающие колебания с одинаковой частотой ω1.
Амплитуда первой составляющей из (409) равна:
а начальная фаза из (411) определяется равенством
С учётом этого законы движения тел системы имеют вид:
т.е. колебания тел происходят по совершенно одинаковым законам.
б). Первое тело отводится от его положения равновесия на А, а второе - на такое же расстояние, но в противоположную сторону. Оба тела затем без толчка отпускаются. Начальные смещения и скорости тел равны: х10 =A, х20=-A, v10 =v20=0.
Из (409) следует, что на этот раз амплитуда первой составляющей равна нулю, т.е. оба тела должны совершать колебания с частотой ω2.
И з (410) и (412) находим амплитуду второй составляющей b и начальную фазу φ2:
Законы движения тел системы при этих значениях представляются в виде:
Как видно, колебания тел в этом случае отличаются только фазой, тела колеблются в противофазе.
в). Первое тело отводится от его положения равновесия на А, а второе - удерживается в своём положении равновесия. Затем оба тела без толчка отпускаются. Начальные смещения и скорости при этом равны: x10 = А, х20=0, v10 = v20 = 0.
И з выражений (409), (410), (411), (412) находим амплитуды составляющих и начальные фазы:
Законы колебаний тел для такого случая принимают форму:
Следовательно, в этом случае колебания каждого из тел представляют собой суперпозицию двух затухающих колебаний с частотами ω1 и ω2, равными главным частотам.
Но рассмотрение предыдущих двух случаев показывает, что и для системы с трением можно подобрать такие начальные условия, что в системе будут осуществляться только нормальные колебания.