- •Двойной интеграл
- •2. Двойной интеграл
- •4. Тройной интеграл
- •5. Тройной интеграл
- •6. Тройной интеграл
- •7. Замена переменных в тройном интеграле
- •9. Приложения тройного интеграла
- •10. Криволинейный интеграл первого рода
- •11. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
- •12. Криволинейный интеграл 2-го рода
- •18. Ряды.
- •19Ряды.Св-ва рядов
- •20. Необх. Признак сходимости
- •25. Знакочередующийся ряд.
- •26. Знакопеременный числовой ряд.
- •30. Разложение функции в степенной ряд. Формулы Тейлора и Маклорена.
30. Разложение функции в степенной ряд. Формулы Тейлора и Маклорена.
Y=f(x)
Определение: говорят, что функция f(x) разложима в степенной ряд на промежутке от –R до R, если существует такой степенной ряд, , сходящийся на этом промежутке к ф-ии f(x), т.е.
= f(x)=
Теорема 1. д/того чтобы ф-ю f(x) можно было разложить в степенной ряд необходимо чтобы она была бесконечно дифференцируема.
Док-во: f(x)=
f’(x)=
f’’(x)= …. fn(x)→∀nЄN
Теорема 2. Если ф-я f(x) разложима в степенной ряд, то это разложение единственно.
Док-во: f(x)= х∈ (-R; R)
х=0; f(0)=
f’(x)=
x=0; f’(0)=
f’’(x)=
x=0; f’’(0)=
f’’’(0)=
fIV(0)=
fn(0)=
т.к. коэффициенты ряда единственным образом выражены через ф-ю, то разложения в ряд единственны.
f(x)= f(0)+ f’(0)x+
ряд Тейлора (частный случай ряда Тейлора записанный в точке х=0 называется ряд Макларена) д/ф-ии f(x) на промежутке (-R; R) (ряд записан в точ х=0)
f(x)= f(x0)+ f’(x0)( )+ +…+ ряд Тейлора записан в точке
область (х0-R;х0+R)
Y=f(x)
f(x)= - остаточный член ряда Тейлора.
- ряд сходится, если сущ-ет - сумма ряда.
,где Θ – некоторая промежуточная точка в окрестностях точки х0.
Теорема 3. д/ того,ч тобы ряд Тейлора к порождающей его функции f(x) остаточный член ряда должен стремится к 0 при n→∞.
Если ряд сходится в функции f(x)→ f(x) совпадает с суммой ряда и совпадает с
Составляем ряд Тейлора при х=0:
f(x)~0+0·х+0·х2+…=0
f(x)≠ ф-я f(x) не совпадает с суммой ряда.
31. Разложение в ряд Тейлора (Маклорена) основных элементарных ф-й.
Sinx=
f(0)=0 fn(x)=
f’(0)=
f’’(0)=
f’’’(0)=
f’’’’(0)=
32. Разложение в степенной ряд
(биноминальный ряд)
Это разложение имеет место:
При если
При -1 если
При , если
f(0)=1
f’= m( =m
f’’=m(m-1)
(0)= m(m-1)(m-2)…(m-n+1)+
R=
1 ; = 1-x+ +…
…
ln(1+x) = 1*x-
-1
f(0)=0
f’(x)=
f’’(x)= -
f’’’(x) =
f’’’’(x)=
F’’’’’(x)=
!
…
R= =1 x
x
33. разложение в степенной ряд
shx=
chx=
arctg x =
…
x +…+
arcsin x
….
m=-
+…
arcsin x =
34. Периодические фун-ии
Y= f(x), периодич. , на [-п,п]. Т=2п
Т-период ф-ии
F(x+T)=f(x)
Св-ва перид. Фун-ий
1) f1
2)
3)если f(x) – имеет период Т
f(a,x) любую ф-ию можно разложить в тригонометрический ряд вида
f(x) sin2x+…+(
Тригонометрич.ряд (1) f(x) (1)
Интегрируем по промежутку от [-п;п]
х
*п
* (2)
умножаем на , а потом интегрируем
x
*п
* (3)
Все выражение (1) умножим на ,
x
*п
* (4)
Ряд (1) ) f(x)
Коэффициент которого вычисляется по формулам 2,3,4 называется рядом Фурье для ф-ии f(x) на промежутке [–п;п]