- •Учебное пособие
- •Оглавление
- •2. Элементы линейной алгебры 21
- •3. Линейное программирование 48
- •4. Теория двойственности в линейном программировании 98
- •5. Целочисленные модели исследования операций 137
- •6. Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели 160
- •Введение в исследование операций
- •1.1 Основные определения
- •Этапы исследования операций
- •Домашнее задание №1
- •2. Элементы линейной алгебры
- •2.1. Алгебра матриц
- •2.1.1. Виды матриц
- •2.1.2. Действия над матрицами
- •Домашнее задание №2
- •2.2. Вычисление определителей
- •Домашнее задание №3
- •2.3. Решение систем алгебраических уравнений
- •2.3.1. Основные понятия и определения
- •2.3.2. Формулы крамера и метод обратной матрицы
- •2.3.3. Метод жордана-гаусса
- •Домашнее задание №5
- •2.4. Векторное пространство
- •2.4.2. Размерность и базис векторного пространства
- •Домашнее задание №6
- •2.5. Решение задач линейной алгебры с помощью ms excel
- •3. Линейное программирование
- •3.1. Постановки задачи линейного программирования
- •3.1.1. Общая постановка задачи линейного программирования
- •3.1.2. Основная задача линейного программирования
- •3.1.3. Каноническая задача линейного программирования
- •3.2. Графический метод решения злп
- •Домашнее задание №7
- •Домашнее задание №8
- •3.3. Анализ решения (модели) на чувствительность
- •Домашнее задание №9
- •3.4. Решение линейных моделей симплекс-методом.
- •Переход от одной к-матрицы злп к другой к-матрице
- •Алгоритм симплекс-метода
- •Домашнее задание №10
- •3.4. Двойственный симплекс-метод (р-метод)
- •Определение р-матрицы злп
- •Условия перехода от одной р-матрицы злп к другой
- •Алгоритм р-метода
- •Решение задач р-методом
- •Домашнее задание №11
- •Домашнее задание №12
- •3.5. Решение злп двухэтапным симплекс-методом
- •Первый этап - решение вспомогательной задачи
- •Второй этап - решение исходной задачи
- •Домашнее задание №13
- •4. Теория двойственности в линейном программировании
- •4.1. Определение и экономический смысл двойственной злп
- •4.2. Основные положения теории двойственности
- •Получение оптимального плана двойственной задачи на основании теоремы 4
- •На первой итерации получен оптимальный план злп (4.24).
- •4.3. Решение злп с помощью Ms Excel
- •4.4. Анализ решения злп на основе отчетов ms excel
- •5. Целочисленные модели исследования операций
- •5.1. Метод ветвей и границ решения целочисленных задач линейного программирования (цзлп)
- •X1, х2 0, целые.
- •Подробное описание метода
- •5.2. Задача коммивояжера
- •Применение метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера
- •Ветвление
- •Построение редуцированных матриц и и вычисление оценок снизу
- •Формирование списка кандидатов на ветвление
- •6. Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели
- •6.1.Транспортная задача линейного программирования
- •Методы составления первоначальных опорных планов
- •Метод потенциалов решения транспортной задачи
- •Проверка выполнения условия оптимальности для незанятых клеток
- •Выбор клетки, в которую необходимо поместить перевозку
- •Построение цикла и определение величины перераспределения груза
- •Проверка нового плана на оптимальность
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих некоторые усложнения в их постановке
- •6.2.Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели
- •Оптимальное распределение оборудования
- •Формирование оптимального штата фирмы
- •Задача календарного планирования производства
- •Модель без дефицита
- •Модель с дефицитом
- •6.3.Задача о назначениях
- •Венгерский алгоритм
- •Оптимальное исследование рынка
- •Оптимальное использование торговых агентов
Оптимальное исследование рынка
Группе, исследующий рынок, требуется получить данные из n различных мест. В ее распоряжении имеется n дней, и она предполагает провести по одному дню в каждом месте, проведя по аj опросов, j = 1, …, n. Вероятность успешного опроса в каждом месте задается матрицей Р. Элемент матрицы рij характеризует вероятность успешного опроса в течении i-го дня в j-м месте, i = 1, …, n.
Определить время проведения опросов, при котором общее число опросов максимально.
Сведем данную задачу к задаче о назначениях.
Введем величину rij = pijaj, показывающую число успешных опросов в в j-м месте в течение i-го дня.
1, если в i-й день опрос проводится в j-м месте;
xij =
0, в противном случае.
Математическая модель задачи имеет следующий вид:
;
xij Î {0;1}, i = 1,…,n; j = 1,…,n.
Функция F характеризует суммарное число успешных опросов. Ее нужно максимизировать. Первое и второе ограничения соответствуют тому, что в течение одного дня можно находиться только в одном месте. Для расчета модели венгерским методом надо перейти к противоположной функции:
и в соответствующей таблице записывать значения rij с противоположным знаком.
Оптимальное использование торговых агентов
Торговая фирма продает товары в n различных городах, покупательная способность жителей которых оценивается bj усл. ед., j = 1,…, n. Для реализации товаров фирма располагает n торговыми агентами, каждого из которых она направляет в один из городов. Профессиональный уровень агентов различен; доля реализуемых i-м торговым агентом покупательных способностей составляет аi, i = 1,…,n. Как следует распределить торговых агентов по городам, чтобы фирма получила максимальную выручку от продажи товаров?
Решение этой проблемы может быть найдено с помощью задачи о назначениях. В качестве кандидатов выступают торговые агенты, в качестве работ – города.
Введем параметр сij = ai bj, характеризующий величину покупательных способностей, реализуемых i-м торговым агентом в j-м городе.
Управляющие переменные xij, i = 1,…, n; j = 1,…, n определяются по формуле
1 , если i-й агент направлен в j-й город;
xij =
0, в противном случае.
Математическая модель запишется в следующей форме:
;
xij Î {0;1}, i = 1,…,n; j = 1,…,n.
Первое и второе ограничения формализуют соответственно условию о том, что в каждый город направляется один торговый агент, и один торговый агент не может работать в двух городах. Целевая функция F – это сумма реализованных покупательных способностей всеми торговыми агентами во всех городах. Она должна подлежать максимизации. Для решения задачи венгерским методом надо, как и в предыдущем примере, перейти к противоположной функции.
1 Число n! называется факториалом числа n и вычисляется по формуле: Например,
1 См. определение в §2.2.