- •1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)
- •2 Масса фигуры переменной плотности
- •3 Геометрический смысл ди (двойного интеграла)
- •4 Геометрический смысл Кр и -1
- •5 Свойства определённого интеграла по фигуре
- •6 Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода
- •7 Вычисление ди в декартовых координатах
- •8 Вычисление ди в полярных координатах
- •9 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •10 Вычисление Тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11 Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
- •12 Вычисление пи-1
- •13 Вычисление статических моментов фигуры
- •14 Вычисление координат центра тяжести фигуры
- •15 Вычисление моментов инерции фигуры
- •Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода.
- •17 Формула Грина
- •18 Независимость Кр и-2 от пути интегрирования
- •20. Формула Стокса
- •21 Формула Остроградского-Гаусса
- •22. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня скалярного поля. Производная по направлению.
- •23 Градиент, свойства градиента
- •24 Векторное поле, определение, векторные линии, труба
- •25 Поток векторного поля, его физический смысл
- •26 Дивергенция векторного поля, её свойства
- •27 Циркуляция векторного поля, её физический смысл
- •28 Ротор векторного поля, его свойства
- •29 Оператор Гамильтона, диф.Операции 1-го и 2-го порядка
- •30 Простейшие векторные поля: потенциальное, соленаидальное, гармоническое
- •31 Определение числового ряда, основные понятия. Необходимые и достаточные условия сходимости ряда
- •32 Свойства сходящихся числовых рядов
- •33 Необходимое условие сходимости ряда. Достаточное условие расходимости числового ряда
- •34 Признаки сравнения числовых рядов
- •35 Признак д'Аламбера
- •36 Радикальный признак Коши
- •37 Интегральный признак сходимости
- •38 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточное условие абсолютной сходимости знакопеременного ряда
- •24.2. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •39 Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •40 Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •41 Функциональные ряды, основные понятия
- •42 Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий равномерной сходимости. Теорема Вейештрасса
- •25.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •44 Степенные ряды. Теорема Абеля
- •45 Свойства степенных рядов
- •46 Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в ряд Тейлора
- •47 Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
- •48 Разложение в ряд Маклорена простейших функций
- •49 Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям: а) вычисление значений функции; б) вычисление ои; в) решение диф. Уравнений
- •1Функции
- •50 Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье функций заданных на [- ], [0,2 ], [-l,l], а также чётных и нечётных функций, функций заданных на [0, ]
- •51 Ортогональные системы функций. Скалярное произведение функций
25 Поток векторного поля, его физический смысл
Понятие потока векторного поля удобно рассматривать на примере потока жидкости, движущейся через некоторую поверхность. Объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, расположенную в движущейся жидкости, назовем потоком жидкости через эту поверхность.
Пусть поверхность S расположена в поле скоростей частиц несжимаемой жидкости с плотностью ρ = 1. Можно показать, что поток векторного поля в этом случае равен
где – единичный нормальный вектор к поверхности S, расположенный по одну сторону с вектором , а величина .
Независимо от физического смысла вектора интеграл (3.34) по поверхности называют потоком векторного поля через поверхность S.
Пусть и тогда поток П вектора через поверхность S можно записать в виде:
Или учитывая связь поверхностных интегралов первого и второго родов, можно записать поток П через поверхностный интеграл в координатах:
26 Дивергенция векторного поля, её свойства
Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:
На этот раз векторное поле порождает скалярное поле div .
С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградскогоможно представить в форме:
т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.
На основании формулы (3.38) можно записать: и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V → 0 ), имеем:
Отметим свойства дивергенции (справедливость которых рекомендуется показать самостоятельно):
где U – скалярная функция.
27 Циркуляция векторного поля, её физический смысл
Циркуляцией поля вектора по данному контуру называется предел интегральной суммы , когда все :
.
Данный предел также называется криволинейным интегралом вектора по замкнутому контуру и обозначается .
Таким образом,
. (4)
Пусть вектор физически изображает силу, отнесенную к единице длины. Тогда произведение будет изображать примерно величину силы в точке . Умножив её на ( – угол между и ), получим проекцию этой силы на направление : . В пределе вектор в каждой точке направлен по касательной к контуру в сторону положительного обхода. Значит, представляет алгебраическую сумму сил, действующих на контур по направлению касательной. При этом положительные слагаемые ( – острый угол) вращают контур в положительном направлении. Если циркуляция положительная, контур вращается в положительном направлении, если циркуляция отрицательная – в отрицательном направлении, если циркуляция равна нулю (это возможно, когда поле во всех точках контура перпендикулярно к контуру или суммы положительных и отрицательных слагаемых одинаковы) – контур вращаться не будет.
28 Ротор векторного поля, его свойства
Ротор (вихрь) векторного поля
или в символическом виде
Свойства ротора