Подпараграф 3.1.2. Аим - сигнал и его спектр

Практическая реализация процесса дискретизации может быть осуществлена с помощью упрощенной схемы, показанной на рисунке 3.3.а, временные диаграммы, характеризующие ее работу даны на рисунке 3.3.б, в, г.

Электронный ключ управляется последовательностью коротких, но имеющих конечную длительность , импульсов uу(t), следующих с периодом t, равным шагу дискретизации, т.е. интервалу времени между соседними выбираемыми в процессе дискретизации значениями сигнала. На время действия импульса ключ замыкается, и выход схемы оказывается подключенным ко входу. В результате графики сигналов на входе и выходе схемы будут иметь вид, показанный на рисунке 3.3.б. Для математического описания рассмотренного процесса введем функцию (3.1), описывающую коэффициент передачи данной схемы, изменяющейся во времени. И функцию K1(t), показанную на рисунке 3.4 и описывающую значение коэффициента передачи для случая, соответствующего подаче на управляющий вход ключа не последовательности, а одного управляющего импульса. Как видно из рисунка 3.4. П ри этом, если начало координат на рисунке (3.3.б) сместить по оси времени в середину одного из управляющих импульсов, в предположении бесконечного времени работы схемы можно записать: В итоге с учетом (3.1) и (3.3) выходной сигнал теперь можно представить в виде: Функция , получаемая в результате реально выполнимой дискретизации (т.е. при конечной длительности ), называется амплитудно-импульсно-модулированным сигналом (сокращенно АИМ-сигналом). Как известно, наряду с описанием сигналов посредством задания их мгновенных значений в виде формул, определяющих зависимости от времени X_(t), и т.д. (т.е. во временной области, т.к. аргумент - время t), существует и другой способ - спектральное представление сигналов, при котором сигналы задаются спектрами. При этом каждому виду сигнала x(t) соответствует свой спектр X(jw), связанный с x(t) преобразованием Фурье. Таким образом, исходный x(t) и полученный из него в результате реальной дискретизации АИМ сигнал имеют спектры соответственно X(jw) и . Используя выражение (3.4), связывающее эти сигналы, установим, как связаны их спектры. Для этого заменим в (3.4) K(t) ее разложением в ряд Фурье, а затем воспользуемся свойствами преобразования Фурье. Поскольку в соответствии с (3.3) и (3.4) K(t) - четная периодическая функция с периодом t она может быть разложена на своем периоде от до в ряд Фурье следующем образом: (3.5), где , n=0,1,2..., косинус - коэффициенты ряда Фурье. Поскольку в соответствии с (3.3) на интересующем нас интервале от до K(t)=K₁(t), последнее выражение модно записать так: , откуда, учитывая (3.2) и вычисляя интеграл получаем (3.6). Подставляя ряд (3.5) в первое из равенств (3.4) имеем (3.7), где - круговая частота следования отсчетных импульсов (частота дискретизации). Как известно, преобразование Фурье обладает следующими свойствами:

1) Если x(t) имеет преобразование фурье X(jw), то , где C=const имеет

преобразование фурье

;

2) Преобразование фурье суммы функций времени равно сумме преобразований фурье от каждой из этих функций; 3) Если x(t) имеет преобразование фурье X(jw), то имеет преобразование фурье:

.

Вычисляя с учетом этих свойств преобразования Фурье от обеих частей выражения (3.7), получаем равенство, связывающее спектры и X(jw)

сигналов

и

x(t)

:

(3.8). Полученное выражение показывает, что спектр АИМ сигнала представляет собой сумму спектра исходного непрерывного сигнала, умноженного на , и смещенных влево и вправо копий спектра X(jw), умноженных на коэффициенты a_n. При 0 (импульсы конечной длительности) слагаемые спектра, соответствующие n>0 затухают с ростом n, так как в соответствии с (3.6) в этом случае затухают коэффициенты a_n. Рассмотренный АИМ сигнал тем ближе к интересующему нас процессу с дискретным временем, чем меньше длительность управляющих импульсов.

3.1.3.  - функция. Математическая модель дискретизированного сигнала. Спектр дискретизированного сигнала

Предположим теперь, что длительность  и коэффициент А передачи ключа в замкнутом состоянии (см. (3.2)) выбраны так, что . Перейдем к пределу при 0, сохраняя произведение , равное площади импульса, описываемого функцией K₁(t), постоянным, т.е. полагая . Тогда получим (3.9), где (t) - дельта-функция, математическая абстракция, функция описывающая импульс бесконечно малой ширины и единичной площади. В соответствии с этим определением  - функция описывается равенствами: (3.10) и (3.11). Выражения (3.10) и (3.11) определяют несмещенную  - функцию. Существует понятие смещенной во времени (задержанной (t-t₀) и опережающей (t+t₀))  - функции (t t₀), которая определяется так: (3.12) или (3.13). При вычислении интегралов с  - функцией в подинтегральном выражении обычно пользуются фильтрующим свойством d - функции, которое выражается равенством: (3.14). Иногда бывает полезной следующая запись свойства (3.14): (3.14а), где a=const. С учетом изложенного вычислим предел при тех же условиях, что и в (3.9), от выражения (3.4), определяющего АИМ сигнал: (3.15). Первое из равенств (3.15) означает, что в пределе при 0 АИМ сигнал превращается в процесс с дискретным временем или дискретизированный сигнал. Второе равенство следует из (3.4) с учетом (3.9), а последнее справедливо, т.к. в силу свойств смещенной d - функции, описываемых (3.12) или (3.13), во всех точках произведения , в точках же , а . Выражение (3.15) есть математическая модель дискретизированного сигнала, представляющая собой произведение непрерывной функции времени на последовательность смещенных  - функций. Рассмотрим теперь, как связаны спектр дискретизированного сигнала X_(jw) и спектр исходной непрерывной функции X(jw). Для этого вычислим тот же самый предел от обеих частей выражения (3.8). При этом предельном переходе изменяются лишь коэффициенты а_n , поэтому формула (3.8) сразу дает спектр X_(jw) дискретной функции , если в нее подставить соответствующие значения а=const, получающиеся из (3.6) при 0, . Из (3.6) находим ; n=0,1,2... после чего (3.8) принимает вид: (3.16). Выражение (3.16) показывает, что спектр дискретизированного сигнала является бесконечным и периодическим с периодом равным w_. Эти утверждения иллюстрируются графиками, представленными на рисунке 3.5. На рисунке показаны: спектр непрерывного сигнала, ограниченный частотой w_m (рисунок а) и спектры дискретизированного сигнала, соответствующие различным частотам дискретизации (рисунки б-г).