Определитель матрицы.

Определение Это число, которое ставится в соответствие каждой квадратной матрице по некоторому правилу.

Определителем N-ного порядка(если матрица такого же порядка) является

Прямоугольные матрицы не имеют определителя.

Определение Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента .

Обозначается определитель одним из символов .

Определение Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное .

Обозначается определитель одним из символов

.

Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.

Правило Сарруса для квадратных матриц 3 порядка.

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение.

Перестановки и подстановки из n символов.

{1,2,3…n}

Произвольная запись слева на право в определённом порядке данных n символов называется перестановкой

Р-число перестановок из n символов

Пара i, j образует инверсию, если большее стоит впереди меньшего(i>j)

Теорема: Все перестановки из n символов можно расположить

с лева на право последовательно так, что чётности соседних будут различны.

Доказывается с помощью леммы.

Лемма: Всякая перемена местами двух символов перестановки меняет её четность на противоположную.

Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.

Чётные перестановки = нечётные перестановки =

Подстановка из n символов.

Всякая подстановка записывается как двустрочная матрица, каждая строка является перестановкой из n символов.

Сумма чисел инверсий в обеих перестановках называется числом инверсий подстановки.

Если сумма чисел инверсий в двух строках чётно, то число инверсий подстановки чётно, а если нет, то нечётно.

Л юбую подстановку можно записать в стандартном виде.

34, 1  2, 2  1, 4  3

Детерминант порядка n – определитель.

Пусть дана матрица порядка n

(*)

Определение:

Определителем порядка n называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое слагаемое которой представляет из себя произведение n элементов определителя матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца определителя. При этом слагаемое берется со знаком “+”, если перестановка, составленная из номеров строк и номеров столбцов, входящих в это произведение – чётное и со знаком “-”, если она не четная.

(*) =

Разложение определителя 3-го порядка по строке и столбцу

Свойства определителя:

1. Определитель не меняется при транспонирование.

Следствие: всякое свойство, справедливое для строк, справедливо и для столбцов.

2. Если в определители есть строка, состоящая из 0, то определитель равен 0.

3. При перемене местами двух строк, определитель меняет знак.

4. Если в определители есть одинаковые строки, то он равен 0.

5. Общий множитель элементов любой строки можно выносить за знак определителя.

6. Если в определителе имеются пропорциональные строки, то определитель равен 0.

7. Если какая-то строка определителя представленна в виде суммы двух слагаемых(матричных строк) то определитель равен сумме двух определителей у которых все строки, кроме данной такие же как и в исходном определителе. А данная строка в первом слагаемом заменяется на первое слагаемое матричной строки, а во втором на вторую.

8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен 0.

9. Определитель не изменится, если к одной из его строк прибавить другую, его же, строку, предварительно умножив на любое число.

Миноры и алгебраические дополнения.

Определитель порядка k называется минором

1 k min

m=n A-квадратная матрица

Вычёркиваем выбранные k строк и k столбцов, остается (m-k) строк и столбцовю

M’- минор, оставшийся после отбрасывания выбрранных строк и столбцов.

M’ – дополнительный минор для M минора.

M’ – алгебраическое дополнение.

Теорема. Произведение любого минора |M| k-го порядка на его

алгебраическое дополнение в определителе является алгебраической суммой, слагаемые которой, получающиеся от умножения членов минора |М| на взятые со знаком (-1) Sm члены дополнительного минора |М'|, будут некоторыми членами определителя , причем их знаки в этой сумме совпадают с теми знаками, с какими они входят в состав определителя.

Доказательство. Доказательство этой теоремы начнем со случая, когда

минор |M| расположен в левом верхнем углу определителя:

т. е. в строках с номерами 1,2, …,k и в столбцах с такими же номерами.

Тогда минор |M'| будет занимать правый нижний угол определителя. Число SM в этом случае будет четным:

SM =1+2+…+k+1+2+…+k=2(1+2+…k),

поэтому алгебраическим дополнением для |M| служит сам минор |M'|.

Берем произвольный член

(1)

минора |M|; его знак в |M| будет , если l есть число инверсий в

подстановке

(2)

Произвольный член

(3)

минора |M'| имеет в этом миноре знак , где l' есть число инверсий в подстановке

Перемножая члены (1) и (3), мы получим произведение n элементов

(4)

расположенных в разных строках и разных столбцах определителя; оно будет, следовательно, членом определителя . Знак члена (4) в

произведении |M||M'| будет произведением знаков членов (1) и (3), т.е. . Такой же знак имеет, однако, член (4) и в определителе .

Действительно, нижняя строка подстановки

,

составленной из индексов этого члена, содержит лишь l+ l' инверсий, так как никакое  ни с одним не может составить инверсию: все не больше k, все не меньше k+1.