Теоремы умножения

1) Вероятность произведения двух зависимых событий и вычисляется по формуле:

.

Пример 4. В читальном зале имеется 6 учебников по социологии, из которых 3 в переплёте. Библиотекарь берёт наудачу 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплёте.

Решение. Введём обозначение событий: - первый учебник в переплёте, - второй первый учебник в переплёте, так как события зависимые, то по теореме умножения вероятность того, что оба учебника в переплёте:

, где , .

2) Вероятность произведения двух независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий:

.

Пример 5. Найти вероятность одновременного поражения мишеней двумя биатлонистами, если вероятность попадания в цель первым биатлонистом (событие ) равна 0,8, а вторым (событие ) – 0,7.

Решение. События и независимы, поэтому по теореме умножения для независимых событий искомая вероятность .

Пример 6. В определённой ситуации вероятность выигрыша на бирже в течение дня равна Р=0,3. Какие варианты событий возможны при биржевой игре в той же ситуации в течение двух дней.

Решение. Введём обозначение событий:

- первый день выигрышный, - второй день выигрышный, тогда вероятности проигрышей равны:

, . Возможные варианты событий:

оба дня выигрыш ;

оба дня проигрыш ;

первый день выигрыш, второй – проигрыш ;

первый день проигрыш, второй – выигрыш .

3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Говорят, что события H₁, H₂, …, H_n образуют полную группу событий, если эти события попарно несовместны, а их сумма является достоверным событием. По теореме сложения вероятностей,

.

Формула полной вероятности. Пусть – полная группа событий. Тогда для любого события

(1)

События H₁, H₂, …, H_n называют гипотезами. Заметим, что должно выполняться условие .

Пример 7. Грибник, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятности выхода из леса за час для различных дорог соответственно равны 0,4; 0,8; 0,3; 0,2; 0,1. Какова вероятность того, что этот грибник вышел из леса через час?

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что «грибник вышел из леса через час», а через H_i, - событие, состоящее в том, что грибник пошел по i-ой дороге. Из условия задачи следует, что Далее,

По формуле полной вероятности

Формула Байеса (теорема гипотез). В формуле (1) вероятности гипотез были известны заранее до опыта. Предположим, что событие А уже наступило.

Пусть даны полная группа событий и некоторое событие . Тогда для любого условная вероятность события при условии, что событие произошло, определяется формулой

.

Вероятности называют апостериорными. Формулы Байеса дают возможность пересмотреть вероятности гипотез с учётом наблюдавшегося результата опыта.

Пример 8. Какова вероятность того, что грибник вышел по второй дороге?

Пример 9. Социолог проводил исследование психологического климата в разных отделах фирмы. При этом было установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследования показали, что 68 % женщин позитивно реагируют на эти ситуации, в то время как 37 % мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. 1. Какова вероятность того, что случайно извлеченная анкета будет содержать негативную реакцию? 2. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность, что ее заполнял мужчина?

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно извлеченная анкета будет содержать негативную реакцию, а через H₁, - событие, состоящее в том, что её заполнял мужчина, через H₂, - событие, состоящее в том, что её заполняла женщина. Из условия задачи следует, что Далее, , .

По формуле полной вероятности вероятность того, что случайно извлеченная анкета будет содержать негативную реакцию =0,37* +0,32* =0,093+0,24=0,333.

Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Вероятность того, что ее заполнял мужчина найдём по формуле Байеса

.