13 Общее уравнение прямой:
Ах + Ву + С = 0 ,
где А и В не равны нулю одновременно.
Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой ( т.е. вектора, перпендикулярного прямой ). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ , при В = 0 прямая параллельна оси ОY .
При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Уравнение прямой, проходящей через точку ( х0 , у 0 ) и не параллельной оси OY, имеет вид:
у – у 0 = m ( x – х0 ) ,
где m – угловой коэффициент, равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .
При А 0, В 0 и С 0 получаем уравнение прямой в отрезках на осях:
где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки ( a, 0 ) и ( 0, b ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки ( х1, у 1 ) и ( х2, у 2 ):
Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку ( х0 , у 0 ) и параллельной направляющему вектору прямой ( a, b ) :
Условие параллельности прямых:
1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 : AE – BD = 0 ,
2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q : m = p .
Условие перпендикулярности прямых:
1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 : AD + BE = 0 ,
2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q : m p = – 1 .
Расстояние между двумя точками ( x1, y 1 ) и ( x2 , y2 ) :
Расстояние от точки ( х0 , у 0 ) до прямой Ах+ Ву+ С = 0 :
Расстояние между параллельными прямыми Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 :
Угол между прямыми:
26 Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из : | LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
27 Второй замечательный предел
или
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений x [показать]
Докажем вначале теорему для случая последовательности
По формуле бинома Ньютона:
Полагая , получим:
(1)
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом
(2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому (3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
для ,
28
Непрерывность функций |
||||||
|
||||||
Определение непрерывности по Гейне Говорят, что функция действительного переменного f (x) является непрерывной в точке ( - множество действительных чисел), если для любой последовательности , такой, что
выполняется соотношение
На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :
Определение непрерывности по Коши (нотация ) Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке , если для любого числа существует число , такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению
выполняется неравенство
Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x = a, если справедливо равенство
где . Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел. Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Теоремы непрерывности Теорема 1. Пусть функция f (x) непрерывна в точке x = a, и C является константой. Тогда функция Сf (x) также непрерывна при x = a. Теорема 2. Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные в точке x = a. Тогда сумма этих функций f (x) + g (x) также непрерывна в точке x = a. Теорема 3. Предположим, что две функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x = a. Тогда произведение этих функций f (x) g (x) также непрерывно в точке x = a. Теорема 4. Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные при x = a. Тогда отношение этих функций также непрерывно при x = a при условии, что . Теорема 5. Предположим, что функция f (x) является дифференцируемой в точке x = a. Тогда функция f (x) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно). Теорема 6 (Теорема о предельном значении). Если функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a, b], то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа m и M, такие, что
для всех x в интервале [a, b] (смотрите рисунок 1).
Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении). Пусть функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a, b]. Тогда, если c − некоторое число, большее f (a) и меньшее f (b), то существует число x0, такое, что
Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2. Непрерывность элементарных функций Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения. Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:
30 |