56. Вычисление доверительного интервала для оценки математического ожидания нормально распределенной св в предположении, что дисперсия известна.

Пусть по выборке достаточно большого объема, , и при заданной доверительной вероятности необходимо определить доверительный интервал для математического ожидания , в качестве оценки которого используется среднее арифметическое (среднее выборочное) .

Если потребовать абсолютную надежность оценки математического ожидания, то границы доверительного интервала будут бесконечными . Выбор любых более узких границ связан с риском ошибки, вероятность которой определяется уровнем значимости , где значения выбираются достаточно близкими к единице, например, 0,9, 0,95, 0,98, 0,99. Величину называют надежностью или доверительной вероятностью. Интерес представляет максимальная точность оценки, т.е. наименьшее значение интервала.. В этом случае выражение для доверительной вероятности имеет вид , где – абсолютная погрешность оценивания.

Нормальный закон полностью определяется двумя параметрами – математическим ожиданием и дисперсией . Величина является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой математического ожидания, поэтому ее значение принимаем за значение математического ожидания в качестве точечной оценки. Будем полагать, что дисперсия известна, тогда выборочное среднее – нормально распределенная случайная величина с параметрами . Для такой случайной величины вероятность попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал выражается через функцию Лапласа , где . При заданной надежности , уравнение можно решить приближенно с помощью таблицы значений функции Лапласа . Если точного значения в списке значений нет, то надо найти два ближайших к нему значения, одно большее, а другое меньшее, и найти их среднее арифметическое. Известное значение параметра позволяет записать абсолютную погрешность . Теперь можно указать симметричный интервал . Полученное соотношение означает, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр (математическое ожидание) с вероятностью (надежностью) , а точность оценки .

При фиксированном объеме выборки из оценки следует, что чем больше доверительная вероятность , тем шире границы доверительного интервала (тем больше ошибка в оценке математического ожидания). Чтобы снизить ошибку в оценке значения, можно увеличить объем выборки. При этом, чтобы снизить относительную погрешность на порядок, необходимо увеличить объем выборки на два порядка.

57. Описание получения доверительного интервала для оценки математического ожидания нормально распределенной св при неизвестной дисперсии.

Во многих случаях предположение о нормальном распределении случайной величины становится приемлемым при и вполне хорошо оправдывается при . Оценка вполне пригодна для применения вместо . Но не так обстоит дело с дисперсией. Правомочность ее замены на выборочную дисперсию не обоснована даже в указанных случаях. При небольшом объеме выборки, , закон распределения оценки дисперсии принимать за нормальный неоправданно.

Рассмотрим случайные величины (исправленную выборочную дисперсию – несмещенную оценку дисперсии ) и . Тогда случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Функция плотности распределения этой случайной величины имеет вид . Распределение Стьюдента симметричное, поэтому полученное соотношение между точностью, надежностью оценки и объемом выборки сохраняется. Выберем число так, чтобы выполнялось неравенство . Из определения функции плотности распределения Стьюдента, значения границ интервала для параметра можно записать как решение интегрального уравнения

Решение этого интегрального уравнения обозначается и приводится в статистических таблицах.

Приведем неравенство к эквивалентному виду , или . Это неравенство задает доверительный интервал для математического ожидания с надежностью У:

Заметим, что полученный доверительный интервал похож на тот, что был получен при условии известной дисперсии: . Разница состоит в том, что неизвестное значение заменяется во втором случае его выборочной оценкой , а числа находятся из распределения Стьюдента, вместо чисел , которые находятся из нормального распределения. Кроме того, при больших объемах выборки можно считать, что, практически , , а . В этом случае можно пользоваться формулами нормального распределения.

58. Основные понятия проверки статистических гипотез: основная (нулевая) гипотеза, альтернативные гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Понятие критерий, по которому принимается или отвергается гипотеза.

Пусть ¾ наблюдаемая дискретная или непрерывная случайная величина.

Статистической гипотезой называется предположение относительно параметров или вида распределения случайной величины .

Основной или нулевой гипотезой называют выдвинутую гипотезу, а гипотезу , ей противоречащую ¾ конкурирующей или альтернативной.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу называют статистическим критерием .