- •1.Понятие случайного события.
- •2.Статистическое определение вер-ти.
- •3.Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Пример.
- •4. Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом). Примеры.
- •5. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры.
- •6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
- •7. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.
- •8. Локальная теорема Муавра—Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции f(X). Пример.
- •9. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости.
- •10. Интегральная теорема Муавра—Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа ф(х) и ее свойства. Пример.
- •11. Следствия из интегральной теоремы Муавра—Лапласа (с выводом). Примеры.
- •12. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.
- •14. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
- •15. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.
- •16. Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).
- •17. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
- •18. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •19. Непрерывная случайная величина (нсв). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв.
- •20. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •25. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения
- •26. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •28. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). Пример.
- •29. Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.
- •30. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).
- •31. Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.
- •32. Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.
- •33. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.
- •35. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •36. Оценка генеральной доли по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
- •37. Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.
- •38. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.
- •39. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).
- •44. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.
- •45. Критерий согласия - Пирсона и схема его применения.
- •46. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
14. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
Опр. Математическим ожидание M(X) дискретной с.в. X наз-ся сумма произведений всех её значений на соответствующие им вер-ти
Св-ва.
1) М(С)=С, где С- пост. случ. величина.
2)М(х)=М(х); -некоторое число.
3)М(ХY)=М(X)M(Y). 4)Пусть случ. вели-чины X иY- независимы, тогда М(XY)=M(X)M(Y).
5)Пусть х1,…,хn- случ. вели-чины такие, что M(x1)=…=M(xn)=a; M((x1+…+xn)/n)=a
15. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.
Опр.Дисперсия D(X) с.в.X наз-ся матем.ожид.квадрата её отклонения от матем.ожид.
D(X)=M(X-M(X))
Свойства.
1) D(C)=0
2) D(kX)=k2D(X)
3) D(X)=M(X2)-[M(X)]2
4) D(X±Y)=D(X)+D(Y)
16. Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).
Пусть проводится исп-й, в каждом событие может произойти с вер-ю p. Наступление или не наступление события А в каждом испытании не зависит от того произошло ли оно (и сколько раз) в предыдущих испытаниях. В этом случае говорят,что имеются независимые повторные испытания.
Пусть X число наступления события А в n независ.испыт.
{ 1 соб.А произо. в i-испыт
Zi ={ 0 если нет
q=1-p
M(Zi)=0q+1p=p
M(X2i)=02q+12p=p
D(Zi)=M(Zi2)-(M(Zi))2=p-p2=p(1-p)=pq
X=Z1+Z2+…Zn
M(X)=M(Z1+…Zn)=M(Z1)+…M(Zn)=p+..+p{n раз}=np
D(X)=D(Z1+..+Zn)=D(Z1)+..+D(Zn)=pq+..pq{n раз}=npq
В частости:
X-число наступления соб-я А
Y-частота наступ.соб-я А
Y=X/n
M(Y)=M(X/n)=M(1/n*X)=1/nM(X)=np/n=p
D(Y)=D(X/n)=D(1/n8X)=1/n2D(X)=npq/n2=pq/n
Если n увеличивается то дисперсия Y уменьшается,т.е.значение Y становится ближе к своему среднему значению.
17. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
Опр.С.в.Х считается распределённой по бинуминарному закону с параметрами n p, если она принимает значения 0,1,2 и т.д.до n с вер-ю:
0<p<1 q=1-p
Следствия.1. Пусть Х число наступлений соб-я Ав n независ.испыт..Тогда Х распределена бинуминар. Закону с параметрами n и p
2. Пусть Х распределена бин.закону с парам n и pТогда
M(X)=np D(X)=npq
Опр. С.в.Х имеет распределение Пуассона если она принимает значения 0,1…n с вер-ю:
M(X)=λ D(X)=λ
18. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.
Опр.Функцией распределения F(x) с.в.Х, наз-ся фун-я равная вер-ти того что с.в.Х примет значение <х,F(x)=P(X<x)
Утв. Фун-я распределения любой дискретной с.в.есть разрывная ступенчатая фун-я, скачки которой происходят в точках, соответствующие возможным значениям с.в.и равны вер-тям этих значений. Сумма всех скачков фун-ии равна 1.
Св-ва:
1. 0≤F(x)≤1
2. Фун-я распр.с.в.есть неубывающая фун-ия на всей числовой оси.
3.на -∞ фун-ия равна 0, а на +∞ равна 1
4. Вер-ть попадания с.в.в интервал [x1,x2) равна приращению её фун-и распределения на этом интервале,т.е.
P(x1≤X≤x2)=F(x2)-F(x1)
19. Непрерывная случайная величина (нсв). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв.
Опр.С.в.Х наз-ся непрерывной, если её фун-я распределения непрерывна в любой точке и диффиренцируема всюду, кроме ,быть может, отдельных точек.
Т. Вер-ть любого отдельно взятого значения с.в.равно 0.
Док-во. Х-нсв х1-произвол.числ
тогда P(X=x1)=0
P(X=x1)=lima-x1P(xэ[x1,a))=lima-x1(F(a)-F(x1))=lima-x1F(a)-lima-x1F(x1)=lima-x1F(a)-F(x1)=F(x1)-F(x1)=0
Следствие: P(x1≤x<x2)=P(x1<x<x2)=P(x1<x≤x2)=P(x1≤x≤x2)
M(X)=∫-∞+∞xφ(x)dx
D(x)= ∫-∞+∞(x-a)2φ(x)dx
φ(x)-плотность вероятности