2.8.3. Построение моделей на основе планов второго порядка

Уравнения математических моделей, полученных путем полного или дробного факторных экспериментов используют для решения двух типов задач: прогнозирования и оптимизации.

Задача прогнозирования заключается в определении оценки выходного параметра ( ) для заданных значений факторов ( ). Очевидно, если найдены оценки коэффициентов уравнения модели, значение получается простой подстановкой значений факторов в уравнение.

Задача оптимизации сводится к поиску таких значений факторов ( ), при которых ( ) или некоторый функционал F( ) принимают экстремальное значение. При решении задач оптимизации осуществляется направленное движение в факторном пространстве от некоторой исходной точки ( ) по направлению к точке экстремума ( ) (рис.2.20).

Исследования факторного пространства вблизи точки экстремума целевой функции показало, что уравнение регрессии, полученное на основании ПФЭ или ДФЭ, не позволяет адекватно описывать объект. Модель, адекватная в области А, может не обеспечивать удовлетворительного по точности прогноза в области В (рис.2.20).

В окрестностях экстремума целевой функции (область В) довольно сильно проявляются эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты. Для описания в этой области используют полиномы второго порядка:

(2.86)

Для определения оценок коэффициентов регрессии в (2.86) необходимы эксперименты, в которых каждый фактор варьировался бы не менее, чем на трех уровнях ( ).

Так как исследователь обращается к планам второго порядка обычно после того, как не удалось получить адекватную модель на основе ПФЭ (или ДФЭ), то естественно желание сохранить результаты, полученные в этих экспериментах, и использовать их в дальнейших расчетах. С учетом этих соображений разработаны композиционные планы 2-го порядка.

Рассмотрим построение регрессионной модели на основе ортогонального центрального композиционного плана (ОЦКП). Ядром этого плана служат точки ПФЭ или ДФЭ. Центр ОЦКП совпадает с центром плана, принятого в качестве ядра. Новый план дополняется так называемыми звездными точками, которые располагаются на координатных осях на расстоянии звездного плеча от центра плана. В состав плана добавляется также одна или несколько точек в центре плана. Расположение точек в ОЦКП при двух независимых факторах показано на рис. 2.22.

Рис. 2.22. Расположение опытных точек в плане 2-го порядка

Общее число точек плана второго порядка определяется по формуле

(2.87)

где – число точек ядра плана (точки плана ПФЭ) – число звездных точек, – число опытов в центре плана ядра.

Если в уравнении больше четырех факторов, то в качестве плана обычно используют план ДФЭ.

Рассмотрим матрицу композиционного плана для двух факторов, в которой предусматривается единственный опыт в центре плана ( ). Используя в качестве ядра матрицу ПФЭ, получим неортогональную матрицу (табл.2.12)

Таблица 2.12.

i
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	-1	+1	-1	+1	+1
3	+1	+1	-1	-1	+1	+1
4	+1	-1	-1	+1	+1	+1
5	+1	0	+	0	0
6	+1	0	-	0	0
7	+1	+	0	0		0
8	+1	-	0	0		0
9	+1	0	0	0	0	0

Условия ортогональности нарушаются для столбцов:

(2.88)

Приведем матрицу (табл.2.12) к ортогональному виду. Для этого преобразуем квадратичные переменные по формуле

(2.89)

Преобразование (2.89) эквивалентно введению новых переменных и и ведет к изменению условий ортогональности:

и

(2.90)

Из последнего условия получают уравнение для звездного плеча:

(2.91)

Для определения звездного плеча можно пользоваться готовыми таблицами (табл. 2.13), составленными для разного числа факторов. На число опытов в центре плана ограничений не накладывается.

Таблица 2.13

Параметры плана	Для ПФЭ при L=2				Для ДФЭ,
	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5	n = 5
	4	8	16	32	16
	4	6	8	10	10
	5	6	7	10	6
	1,414	1,682	2	2,378	2

Матрица планирования для ортогонального центрального композиционного плана при n=2, =1 и =1, полученная путем пересчета по (2.89) двух последних столбцов в табл.2.12, приведена в табл. 2.14.

Таблица 2.14

i
1	+1	+1	+1	+1	+1/3	+1/3
2	+1	-1	+1	-1	+1/3	+1/3
3	+1	+1	-1	-1	+1/3	+1/3
4	+1	-1	-1	+1	+1/3	+1/3
5	+1	0	+1	0	- 2/3	+1/3
6	+1	0	-1	0	- 2/3	+1/3
7	+1	+1	0	0	+1/3	- 2/3
8	+1	-1	0	0	+1/3	- 2/3
9	+1	0	0	0	- 2/3	- 2/3

В силу ортогональности матрицы (табл.2.14) все коэффициенты уравнения модели определяются независимо один от другого:

и	(2.92)
	(2.93)
	(2.94)

С помощью (2.92) - (2.94) получаем оценки коэффициентов регрессии для уравнения вида

(2.95)

или

(2.96)

Для перехода к уравнению (2.86) необходимо пересчитать свободный член уравнения:

(2.97)

При выполнении регрессионного анализа полученного уравнения модели учитывают, что в отличие от ПФЭ при использовании планов второго порядка все коэффициенты уравнения характеризуются разными оценками своего среднеквадратического отклонения.

	(2.98)

При проверке адекватности уравнения модели табличное значение критерия Фишера определяют с учетом степеней свободы:

где – число сочетаний по два из n факторов (число парных взаимодействий).