- •Элементы комбинаторики, размещения, перестановки, сочетания.
- •3.Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности
- •4.Геометрическая вероятность. Задача о встрече
- •5.Действия над событиями. Диаграммы Венна.
- •6. Теорема сложения вероятностей. Вер-ть разности двух событий
- •8.Условная вероятность.Теорема умножения вероятностей для двух событий
- •11.Формула Байеса
- •12.Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов
- •14.Редкие события. Теорема Пуассона
- •19.Функция распределения св и ее свойства
- •21.Функции распределения нсв. Плотность распределения вероятностей и ее свойства
- •22.Математическое ожидание дсв и нсв, его свойства и геометр.Смысл
- •23.Дисперсия св и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •24.Биноминальный закон распределения. Мат.Ожидание и дисперсия св, распределенной по биноминальному закону
- •25.Закон распределения Пуассона. Мат ожидание и дисперсия св, распределенной по закону Пуассона.
- •26.Поток событий. Простейший пуассоновский поток
- •27.Равномерное распределение. Мат ожидание и дисперсия св, распределенной равномерно
- •28.Показательный закон распределения. Мат ожидание и дисперсия св, распределенной по показательному закону.
- •29.Нормальный закон распределения. Мат ожидание и дисперсия св, распределенной по нормзакону. Влияние параметров a и на вид нормальной кривой.
- •30Выражение функции распределения норм величины через ф Лапласа. Вероятность попадания значения норма св в заданный интервал, правило трех сигм.
- •31.Неравенства Маркова.
- •32.Неравенства Чебышева.
- •33.Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева.
- •34.Теорема Бернулли.
- •35.Понятие о центральной предельной теореме.
- •38. Эмперическая функция и эмперическая плотность распределения.
- •39. Основные числовые характеристики вариационных рядов. Среднее арифметическое и выборочная дисперсия и их свойства.
30Выражение функции распределения норм величины через ф Лапласа. Вероятность попадания значения норма св в заданный интервал, правило трех сигм.
1) Распределение N(0;1) наз-ся станд-ным нормальным..Для стандартного распред-я плотность вер-ти равна: , а ф-я распред-я .
Ф-я Лапласа и ф-я распред-я НСВ Х с параметрами связаны соотнош-м: .
2)Получим формулу д/вычисления вер-ти попадания НСВ с параметрами в задан. интервал(α;β) через стандарт-е распред-е :
3)3σ Вер-ть того, что НСВ отклоняется от своего мат.ожид-япо модулю меньше, чем ε>0, определяется формулой . Если положить , то получим .
Отсюда вытекает, что среди 10000 значений НСВ в среднем только 27 выйдут за пределы интервала . Это означает, что практически среди небольшого числа значений Х нет таких, кот. выходят за пределы указанного интервала. Правило 3-х сигм часто применяется д/грубой оценки сигма: .
31.Неравенства Маркова.
Теорема: Пусть Св Х принимает только неограниченное значение α- любое положительное число тогда вероятность того что СВ х≥0 ¥ α>0
P(x<α)≥1- (1)
Док-во т к х≥0
M(X)=
P(X≥α)≤M(X)/α
-P(X≥α)≥-M(X)/α
1-p(X≥α)≥1-M(X)/α
32.Неравенства Чебышева.
Если Х-СВ, мат. ожидание к-рой М(Х) = а, а дисперсия D(Х) конечна, то д/любого числа ε> 0 выполняются неравенства:
Док-во
Ιx-M(X)ι<E↔(X-M(X))2<E2
Введем новую СВ Y=(X-M(X))2≥0
M(X)=M(X_M(X))2=D(X)
P(X)<E2)≥1-M(X)/E2=1-D(X)/E2т к события РΙx-M(X)ι≥E противоположные то справедливо неравенство
РΙx-M(X)ι≥E)≤D(X)/E2
При неизв-ом з-не распред-я на практике при известных М(Х),D(X) участком возможных значений СВ Х считают М(Х)±3σ(Х)
33.Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева.
Лемма 2 (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию и любого
.
Следствие 2. Для любой случайной величины Х с конечной дисперсией и любого
Теорема Чебышева. Если последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , ограниченными одной и той же постоянной , то какова бы ни была постоянная
.
При доказательстве предельного равенства используется неравенство
,
которое вытекает из неравенства Чебышева.
34.Теорема Бернулли.
Если вероятность наступления событ А в каждом изn -_независ испыт постоянно то при неограниченном увеличении числа n –испытаний относит частота m/n –наступления событияА стремиться по вероятности к числу р т е для любого Е>0
<E)=1
Док-во Рассм Св Х1,Х2…..Хn где Xi–число наступлений события А в i- ом испытании
хi 0 1.
рi 1-р р .
M(X)=p D(X)=pq=c
35.Понятие о центральной предельной теореме.
Закон больших чисел устанавливает факт приближения большого кол-ва СВ к определенным постоянным однако суммарные действия СВ не ограничивается только такими закономерностями
Оказывается что совокупные действия многих случ факторов СВ приводит к определнному закону распределения а именно к норм закону распред
Теорема Ляпунова
Пусть Xi…Xn–независ Св имеющие матем ожидание M(Xi)=aibD(X)= и абсолютные центральные моменты 3-го порядка
M= тогда закон распред суммы Yn=X1….+Xn неограниченно приближается к норм закону с ростом n с мат ожиданием N( )
Т к для Св выполн все условия теоремы Чебышева то мы можем записать для них неравенство с cc-pq
P(ǀ ǀ<E)≥1-pq/nE2
P(ǀm/n-np/nǀ)<E)≥1-pq/nE2
36.Генеральная и выборочная совокупности. Дискретный вариационный ряд и его графические изображения.
Мат. Ст-ка занимается установлением закономерностей, к-рым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки стат. данных, полученных в результате наблюдений.
Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов. Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности.
Виды выборки: повторная и бесповторная. Выборка должна правиль-но представлять пропорции ген.сов-сти, то есть быть репрезентативной (представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем д/любого объекта вероятность попасть в выборку одинакова.
Вариационный ряд наз-ся ряд вариант расположенных в порядке возрастания вместе с соответствующими весами если изуч.ДСВ то ДВР.
Полигон –ломаная соединяющая точки плоскости с координатами (х,mi)
Кумулянта- ломаная соед точки плос-ти с корд-ми(x,mxi)
Гистограмма –для изобр.вар.рядов и имеют вид ступ фигурыиз прямоуг.с основ.=длина инт-ла и высотами=частотам.
37.Интервальный вариационный ряд и его графические изображения.
Интервальный ряд –ряд, представляющий собой выборку непрерывной случ велечины.
Для построения интер. Вар. Ряда разбивают множество значений вариант на полуинтервалы [ак, ак=1], т.е. проводят группировку.
Для определения оптим. велечины интервала используют формулу Стерджерса: h=(xmax-xmin)/( 1+3,332ln n).
Для графического представления интер.вар. ряда используется гистрограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основанием для которых служат частичные интервалы, а высоты – частоты или частости.