12. Локальная ф-ия и теор Лапласа
Д
ля
любого числа испытан вер-тей связан.со
сх.Бернулли, вычисляется Локальн./Интегр.
теор.Лапласа. Их применяют для точности,
если каждое из чисел np
и n(1-p)достиг.
неск. десятков.Вер-ть того, что в n
независ испыт, в каждом из котор вер-ть
появлен соб равна р(0<р<1), событие
наступит ровно m-раз,
приближенно равна P(n
=m)=
где Z=m-np/npq, (t)=(1/2П)*e-t2/2
график ф-ии:непрерывен, неотрицат, всюду определена, четная, и при наиб.значении принимает наименьш (т.е. при t=0 наим.знач.)
13 Интегральная ф-ия и т. Лапласа Для люб числа испытан. Вероят ностей,связан.со сх. Бернулли,вычисляются Локальн ./Интегр. теор Лапласа. Их применяют для точности, если кажд из чисел np и n(1-p)достиг. неск. десятков. Вер-ть того, что в n независ испыт, в кажд их кот вер-ть появлен событ равна р(0<р<1), событ наступит не менее m1 и не более m2 приближ равна: P(m1<Mn<m2)=Ф0(z2)-Ф0(z1),
г
де
Z1=(m1-np)/npq,
Z2=(m1-np)/npq.
Ф0(-z)= -Ф0(z)-четна.ф-я.
14.РАспредел Пуассона Случ вел распре.по з.Пуассона-это дискр Сл вел множ знач котор целые неотр. числа, а вер-ти, с котор они приним: :pi=(i/i!)e-, 0. случ вел имеет распред П(),если Р(=i)=(i/i!)e-. Найдем Мат.Ож. М=i=0(xipi)=i*(i/i!)e-=e-i(i/i!)
= e-*(i-1/(i-1)!)= e-k=0(k/k!)= e- e= . Вывод: если сл вел распред по з.Пауссона, то М=; D=, то парметр -сред.число заявок.
Пример сл вел, распред по зак Пуассона – число заявок, поступивших настанцию обслуживания за время т
15. Предельная теорема Пуассона
Если число испытаний n в схеме независ испыт Бернулли растет, а вер-ть p уменьшается, то точная формула P(n=m)=Cmn*pmqn-m
практически непригодна из-за громоздких вычисл и возникающ погрешност округления.
Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли стремится к бесконечн и р→0 так, что np→ , 01, то при любом числе появлен события m^ P(n=m)=(me-)/m!
Это означает, что при больших n и малых p вместо громоздких вычислений по точной формуле можно воспользоваться приближенной формулой, т.е. использовать формулу Пуассона для l = np.
16.Показат распред и вероятностный смысл его парам. Показат назыв распред вер-ей напрер сл вел Х, котор описыв плотностью:
при х<0
при х≥0, где -пост, полож вел
П
оказательное
распред зависит только от одного
параметра .
Свойства: 1) f(x)≥0
2) Доказательство:
3) ф-ия распределения:
F(x)-не убыв, 0≤F(x)≤1
М
ат
ож:
1 7. Норм распр сл вел и вер-ный смыс парам
Э
то
сл.в, имеющая сл ф-ию плотности распред:
П
олучена
из локал.ф-ии Лапласа сдвигом на а и
растяжение/сжатием по Ox
и Оy. Для вычислен f(x)
достаточно иметь табл. Локк ф-ии Лапласа.
f(x)≥0
П
рименяя
это св-во:
Т.к. интеграл =1=>f(x)-ф-ия
плотности
распределения. N(a,σ)-сл.в.
распределенная по норм.закону с
параметрами a
и σ. Ф-ия
распределения: F(x)=P(X<x)
сл вел Х примет знач меньше чем х
Интегральн теор Лапласа:
Свойства: 1)Фо(-t)=-Фо(t)
2) Фо(-∞)=1/2 Функция распределен: F(x)=½+Ф0((х+а)/σ) Смысл параметра а-мат ожид, σ-корень квадратный из дисперсии
1
8.
вер-ть попад норм распред сл вел в задан
промеж. Правило «3 сигм» Вер-ть
попадан сл вел в промеж
Если сл.в имеет норм. распределение а и σ (N(a,σ)), то a-мат.ожидание (=рез-т измерен) σ-корень квадратный из Dξ (=мера рассеивания, характеризует прибор). Пусть X-норм. распред. вел X~N(a,σ). Рассмотрим вер-ть P(|x-a|<kσ) (a-истинное значение, k-результат измерения)-вер-ть того что сл вел Х отклонится от мат ожид на расст < чем kσ или это вер-ть того, что рез-т измерен близок к измеряем величине.
P(|x-a|<kσ)=P(-kσ<x-a<kσ)=P(a-kσ<x<a+kσ)= =Ф((a+kσ-a)/σ)-Фо((a-kσ-a)/σ)=Фо(k)-Ф(-k)= =2Фо(k). Для
k=1: P(|x-a|<σ)=2Фо(1)=2*0,3413=0,6826,
k=2: P(|x-a|<2σ)=2Фо(2)=2*0,4772= 0,9544,
k=3: P(|x-a|<3σ)=2Фо(3)= 2*0,4987=0,9974. Истинное значение отклоняется от результатов наблюдения меньше чем на 3σ с вер-ью 99,7%, а более чем на 3σ с вер-тью менее чем 0,3%