20. Нормальное распределение

ОПР: Нормальным называется такое распределение случайной величины , плотность вероятности которого описывается функцией Гаусса:

где – среднее квадратичное отклонение;

– математическое ожидание случайной величины.

ТЕОРЕМА: М(х)=m D(x)=ϭ ϭ(x)=ϭ

21. ОПР: Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:

,

где .

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

2. M(CX)= C·M(X)

3. M(X+Y)=M(X)+M(Y)

4.

5.

22. ОПР: Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

.

свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

5. D(X-Y)= D(X)-D(Y)

23. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал

Во многих практических задачах требуется определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функции распределения вероятности в граничных точках этого интервала:

.

В случае нормального распределения:

Следовательно, искомая вероятность может быть выражена через веденный ранее стандартный интеграл Лапласа:

.

Функция Лапласа не выражается через элементарные функции .

Для ее вычисления используются специальные таблицы или методы приближенного вычисления.

24. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА

теорема. каково бы ни было ε›0 для любой случ величины х, Д кот конечна имеет равенство Чебышева

25. закон больших чисел

Под законом больших чисел понимают общий принцип в силу кот-й совмест. дейст-е случ факторов приводит при опр-х условиях к результату почти зависящих от испытаний . этот принцип выражается рядом теорем.

В основе доказательств этих теорем лежит неравенство Чебышева. Это неравенство можно получить, рассматривая дискретную случайную величину, имеющую возможных значений .

27. ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Математическая стат-ка – раздел матем-ки, в кот изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случ явлений для выявления существующих закономерностей.

Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки статистических данных, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Второй задачей математической статистики является разработка методов анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. К этой задаче относятся: оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и т.п.

Третья задача - проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

28. ГЕНЕРАЛЬНАЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СОВ-ТИ

Выборочной совокупностью или случайной выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и исследован, его можно возвратить или не возвращать в генеральную совокупность. В связи с этим выборки подразделяются на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. При бесповторной выборке отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

29. СТАТИС-ОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРКИ.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им относительных частот. Статистическое распределение можно представить как:

X			…..
w			….

где относительные частоты .

Приведенный способ представления статистических данных применяют в случае дискретных случайных величин. Для непрерывных случайных величин удобнее разбить отрезок [a,b] возможных значений случайной величины на частичные полуинтервалы ( замкнут также и справа) с помощью некоторой системы точек . Часто разбиение [a,b] производят на равные части, тогда:

где .

30.ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом, по определению , где – число вариант, меньших x, n – объем выборки.