§ Критерий Рауса-Гурвица.
Пусть
Р
=
- произвольная квадратичная матрица
порядка n
Назовем главными минором детерминант (определитель) матрицы:
Пусть L(p) = а0∙р(n) + a1р(n-1) + …+ an-1р + an - произвольный многочлен с действительными (вещественными) коэффициентами
Q
=
- порядка n
§ Теорема Рауса-Гурвица.
Многочлен L(p) устойчив, когда все главные миноры положительные
k
+ j
–отрицательные > n,
то коэффициенты считаются = 0
§ Геометрический критерий устойчивости (Критерий Михайлова).
Допустим, есть однородное линейное уравнение:
ao·y(n) + a1·y(n-1) + … + an-1·y' + an·y = 0
введем характеристическое уравнение:
(p) = ao·pn + a1·pn-1 + … + an-1·p + an = 0
вместо р введем р = i·, i =
(p) = (i·) = u() + i·v() , где
u() = an – an-2·2 + an-n·n – …
( * )
v() = an-1· – an-3·3 – an-5·5 – …
(i·) при заданных значениях и ( * ) можно изобразить на комплексной плоскости:
годограф Михайлова - +
По виду годографа Михайлова можно судить об устойчивости системы.
Обозначим корни многочлена (p) через р1, р2,…, рn.Тогда можно записать:
(p) = ao·(р – р1)·(р – р2)·…·(р – р2)
Тогда (p) = (i·) = ao·( i· – р1)·( i· – р2)·…·( i· – р2)
Комплексная плоскость корней:
S = + i· - вещественная часть
Подсчитаем угол , на который повернется вектор (i·) при изменении - +.
При перемножении комплексных чисел их аргументы складываются, т.е. = 1 + 2 +…+ n
(p) - многочлен с m корней с положительными вещественными частями
n – m корней слева от мнимой оси
= (n – m)· + m·(-) = (n-2m)
Замечание: u() – четная функция, т.е. можно изучать поведение корней только 0 ≤ + ,
а - ≤ 0 – зеркальное отражение .
Тогда
= (n
– 2·m)·
при 0
≤
+
,
ao·y(n) + a1·y(n-1) + … + an-1·y' + an·y = 0
Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (p) = (i·) = 0 имели отрицательные вещественные части. Т.е. для устойчивой системы m = 0.
§ Критерий Михайлова
Тривиальное решение уравнения устойчивости системы:
ao·y(n) + a1·y(n-1) + … + an-1·y' + an·y = 0 , необходимо и достаточно, чтобы:
1) (i·) при 0 ≤ + совершил поворот = n · , т.е. сделал оборотов против часовой стрелки;
2) годограф (i·) 0 ≤ + не проходил через 0;
Для решения этого выражения необходимо и достаточно, чтобы годограф проходил n квадрантов против часовой стрелки, окружая начало координат.
Координаты уравнений u() = 0 и v() = 0 должны поочередно обращаться в 0.
Другая формулировка:
….., необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнений u() = 0 и v() = 0 были вещественными и перемежающимися.
u(0) 0 , v(0) 0
u() = an – an-2·2 + an-n·n – …
v() = an-1· – an-3·3 – an-5·5 – …
=0
>
0
Примеры:
u()
= an
– an-2·2
+ an-n·n
– …
v() = an-1· – an-3·3 – an-5·5 – …
= 0 : u() = an
v() =0
1) aо = 1 ,тогда i· + a1 = 0
2) уравнение 2-й степени:
р2+ а1·р + а2 = 0 ; (p) =(i·) = –2 + i· a1· + a2 = u() + i·v()
u() = –2+ a2
v() = a1·
3) уравнение 3-й степени:
р3+ а1·р2 + а2·р + а3 = 0 ; (p) =(i·) = –i·3 + a1·2 + a2· + a3 = u() + i·v()
u() = a3 – a1·2
v() = a2· – 3
4) уравнение 8-й степени
Неустойчивые решения:
D – разбиения
Введение:
Однородное линейное дифференциальное уравнение n – го порядка :
ao·y(n) + a1·y(n-1) + … + an-1·y' + an·y = 0 ( * )
Алгебраическое уравнение:
ao·рn + a1·p(n-1) + … + an-1·p + an = 0 ( ** )
2 постановки задачи:
1) коэффициенты уравнения ( * ) считаются заданными, и ищется ответ – устойчива система или неустойчива.
2) при фиксированном значении коэффициентов находим, при каких условиях решение устойчиво.