17. Метод выбранных точек и средних.

Метод состоит в следующем: по заданным табл. данным X0Y наносится система точек.

П осле этого проверяется линия, соответствующая внешнему виду (x) и наиболее близко проходящая от заданных точек:

На проведённой линии выбираются новые точки, не принадлежащие системе табличных данных, а их число должно быть = кол-ву не известных параметров эмпирической функции. Значение координат в этих точках тщательно измеряются. Они используются для записи системы уравнений , исходя из условия прохождения графика (x) через эти точки. Решая полученную систему уравнений, находим неизвестные параметры .

Другим методом является метод средних. Он базируется на предположении, что параметры функции (x) можно определить из равенства о суммы погрешности _i во всех точках X_i: Из полученного ур. можно вычислить не известные параметры Однако, однозначно рассчитать все m+1 параметр из одного ур. нельзя. Поэтому полученные равенства путём группировки погрешностей _I разделяют на систему m-1 ур-я. Решая полученную систему, находим неизвестные параметры.

18. Метод наименьших квадратов.

Для определения параметров эмпирической ф-лы а₀,а₁,…,а_м запишем сумму квадратов отклонений во всех точках x_i, i=0, n:

Параметры a₀,a₁,...,a_m будем искать при условии минимума функции S=S(a₀,a₁,...,a_m).

Поскольку в этом случае параметры a₀,a₁,...,a_m выступают в роли независимых переменных функции S (1), то ее min найдем, приравнивая к 0 частные производные по этим переменным:

Полученные соотношения представляют собой систему уравнений для определения a₀,a₁,...,a_m.

На практике широко распространен случай, когда в качестве ЭФ используется полином:

Рассмотрим применение МНК для этого случая. Построим сумму квадратов для отклонений:

Найдем частные производные функции S=S(a₀,a₁,...,a_m).

Приравнивая к 0 эти выражения и собирая коэффициенты при неизвестных a₀,a₁,...,a_m, получаем систему уравнений:

Решая полученную СЛАУ получим коэффициенты a₀,a₁,...,a_n многочлена S=S(a₀,a₁,a₁,...,a_n), которые являются исходными параметрами эмпирической формулы.

19. Равномерное приближение функции.

Во многих случаях мерой отклонения аппроксимирующей функции (x) от некоторой функции f(x) вполне можно считать среднеквадратичное отклонение. Но бывают ситуации когда аппроксимирующий многочлен P_n(x) должен отклониться от непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) на расстоянии не больше заданной погрешности. В этом случае должно выполняться условие: . В этом случае задача будет состоять в нахождении многочлена степени n для которого величина погрешности равномерного приближения минимальна. Такой многочлен называется многочлен наилучшего равномерного приближения.

Теорема:

Для того чтобы некоторый многочлен P_n(x) был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной на отрезке функции необходимо и достаточно чтобы на [a,b] нашлись как минимум n+2 точки такие что наша разность . Точки x_i должны обладать следующими свойствами:

1. В точках x_i модуль погрешности приближения функции f(x) многочлена P_n(x) достиг. максимума.

2. для всех точек при i=0,n погрешность меняет знак при переходе от x_i и x_i+1.