2. Интегрирующие

Эти звенья имеют статическую характеристику вида

= k x₁

График функции имеет вид.

Рис.2

Проинтегрируем статическую характеристику :

Поэтому данная группа получила название интегрирующих.

Интегрирующие звенья делятся на группы

1. Идеальное интегрирующее звено

Описывается уравнение

= k x₁

2. Интегрирующее звено с замедлением

Описывается уравнением

T² + = K x₁

Дифференцирующие звенья

Эти звенья имеют статическую характеристику вида: x₂ = k

График функции имеет вид: Рис.3

Дифференцирующие звенья делятся на группы:

Идеальное дифференцирующее звено

x₂ = k Дифференцирующее звено с замедлением

Т + x₂ = k

7. Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция, или переходная характеристика, h (t) представляет сбой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис.4) Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией и

обозначается x₁(t) = 1 (t), что соответствует x₁ = 0 при t < 0 и x₁ = 1 при t> 0. Предполагается, что единица имеет ту же размерность, что и физическая величина на входе звена

Умножение какой-либо функции времени х (t) на единичную ступенча­тую функцию 1 (t) означает, что функция времени х (t) будет существовать только при t>0, при t < 0 она обращается в нуль.

Функция веса w (t) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход (рис. ). Единичная импульс­ная функция, или дельта-функция, представляет собой производную от еди­ничной ступенчатой функции: (t) = I' (t). Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности.

Основное свойство дельта-функции заключается в том, что она имеет единичную площадь.

Рис.6 Рис.7

Из последнего выражения следует, что размерность единичной дельта-функции равна [сек^-1]

Нетрудно установить связь между переходной функцией и функцией веса. w(t)=

9. Прологарифмируем выражение частотной передаточной функции

ln W(j ) = ln A( ) + j ( )

Как видно из этого выражения, логарифм ЧПФ равен комплексному выражению, вещественная часть которого является логарифм модуля (амплитуды) , а мнимой – фаза.

Для практических целей удобно пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику ( ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ). Для построения ЛАЧХ находится величина;

L( ) = 20lg A( )

Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности

10. Безынерционное звено

а) Уравнение звена, передаточная функция, временные характеристики.

Это звено не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением

x₂(t) = Kx₁ (t) ( 1)

Применяя преобразование Лапласа, получим:

x₂(p) = Kx₁ (p)

Отсюда передаточная функция звена равна постоянной величине:

W (р) = = К

Примером такого звена являются механический редуктор (без учета явления скручивания и люфта) Переходная функция звена может быть получена подстановкой в уравнение ( 1 ) x₁ (t) = 1(t):

h(t) = K 1(t)

Переходная функция звена представляет собой ступенчатую функцию.

Функция веса получается подстановкой в уравнение (1) x₁ (t) = 8 (t) :

w(t) = K 8 (t)

Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна К.

11. Апериодическое звено первого порядка описывается диффе­ренциальным уравнением

Т + x₂ = Kx₁ ( 2 )

Применяя преобразование Лапласа, получим:

Tp X₂ (p) + X₂ (p) = K X₁ (p)

Отсюда передаточная функция звена равна постоянной величине:

W (р) = = (3) Переходная функция получается путем подстановки в уравнение (2) x₁ (t) = 1(t) и его решения:

h(t) = K ( 1 – е ^–t/T) 1(t)

Функция веса может быть получена так:

w(t) = = е ^–t/T 1(t)

Графики этих функций имеют вид:

Как видно из графиков, переходные характеристики представляют собой монотонные функции времени, по ним можно определить такие параметры, как коэффициент усиления, равный установившемуся значению h(); постоянную времени, равную интервалу времени T от точки касания переходной функции до точки пересечения касательной с ее асимптотой.

12. Примером интегрирующего звена являются счетчики, суммирующие расход вещества или энергии за определенный промежуток времени, уровень в емкости и т.п.

Это звено описывается дифференциальным уравнением

= k x₁ (1)

Применяя преобразование Лапласа, получим:

рx₂(p) = Kx₁ (p)

Отсюда передаточная функция звена равна постоянной величине:

Переходная функция звена может быть получена подстановкой в уравнение ( 1 ) x₁ (t) = 1(t) и его решением

h(t) = К = К t 1(t)

Переходная функция звена представляет собой линейновозрастающую функцию.

Функция веса получается так :

Функция веса представляет собой ступенчатую функцию.

13. Идеальное дифференцирующее звено описывается диффе­ренциальным уравнением

x₂ = K (2) Применяя преобразование Лапласа, получим:

Отсюда передаточная функция звена равна постоянной величине:

W (р) = = Кр (3)

Переходная функция получается путем подстановки в уравнение (2) x₁ (t) = 1(t) и его решения:

h(t) = K 8 (t)

Функция веса может быть получена так:

w(t) = = К

Графики этих функций имеют вид:

14. Теория устойчивости движения была создана в начале нашего века великим русским математиком Александром Михайловичем Ляпуновым (1857 – 1918) в связи с задачами небесной механики.

Всякая система автоматического управления должна нормально функционировать при действии на нее случайных помех, шумов или, несмотря на действие различных посторонних возмущений, она должна работать устойчиво. В простейшем случае понятие устойчивости систем связано со способностью системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Если система неустойчива, то она не возвращается в исходное состояние. Таким образом, различают три типа систем:

1) устойчивые  системы, которые после снятия возмущений возвращаются в исходное состояние равновесия;

2) нейтральные  системы, которые после снятия возмущения возвращаются в состояние равновесия, отличное от исходного;

3) неустойчивые  системы, в которых не устанавливается равновесие после снятия возмущений.

Наглядно устойчивость равновесия представляется следующими рисунками (рис. 6.1).

Рис. 1 Иллюстрация понятия устойчивости:

а – устойчивая система; б – неустойчивая система; в – нейтральная система . Положение равновесия шара характеризуется точкой A₀. При отклонении в положение A₁ в первом случае шар стремится к положению A₀, во втором не стремится к этому положению, в третьем  состояние шара безразлично. Примером устойчивых систем могут служить все типовые звенья, кроме интегрирующего, которое является нейтральным объектом.