1. Численное решение.

С использованием (7.4) расчет будущей стоимости ускоренного аннуитета для данного случая выглядел бы так:

Текущее приведенное значение аннуитета. Предположим, вам предложено выбрать между двумя альтернативными вариантами: 1) трехлетним аннуитетом с выплатами по 100 ден. ед. в год или 2) единовременной выплатой сегодня. У вас нет потребности в деньгах на ближайшие три года, поэтому, если вы выберете ежегодные выплаты, то сможете инвестировать полученные суммы на банковский депозит, приносящий 5% годовых. Аналогично единовременно выплаченную сумму вы также положите на банковский счет. Какой при этих условиях должна быть сумма единовременного платежа, чтобы выбор любого из вариантов был бы для вас равнозначным?

Обычный аннуитет (постнумерандо). Если платежи совершаются в конце каждого года (аннуитет обычный), то их приведенное значение на временном графике будет выглядеть так:

95,24

+

90,70

+

Приведенное значение обычного аннуитета PVA₃ равно 272,32 ден. ед. Представим формулу для расчета PVA_n:

(7.5)

Отметим, что множитель приведения обычного аннуитета для i и n (PVIFA_i,n) может быть найден как множитель его будущего значения FVIVA_i,n (см. формулу (7.3)), выделенный на коэффициент наращения (1+i)ⁿ за период действия аннуитета.

1. Численное решение

Используя (7.5) для приведенного значения обычного аннуитета, находим:

Ускоренный аннуитет (пренумерандо). Аналогично случаю обычного аннуитета на временном графике платежи по ускоренному аннуитету будут выглядеть следующим образом.

Временной график:

0 5% 1 2 3

+

95,24

+

Поскольку поступления происходят раньше, чем в случае обычного аннуитета, PV ускоренного оказывается выше, чем обычного:

(7.6)

1. Численное решение

Применение приведенной формулы к данному случаю дает следующий результат:

Аннуитеты: нахождение процентной ставки, числа периодов выплаты или их суммы. Иногда бывает необходимо находить процентную ставку, число периодов или сумму платежей для данного аннуитета. Например, предположим, что вы можете взять компьютер у производителя в лизинг. Срок лизинга составляет 36 месяцев, и вы должны будете вносить лизинговые платежи в размере 780 ден. ед. в конце каждого месяца. В качестве альтернативы вы рассматриваете вариант немедленной покупки компьютера за 19 880,13 ден. ед. В любом случае по истечении 36 месяцев компьютер будет находиться в вашей собственности, и никакие платежи больше не потребуются. Вам хотелось бы знать, какую «процентную ставку» заложил производитель в лизинговые платежи: если она окажется слишком высокой, вы, вероятно, предпочтете не брать компьютер в лизинг, а купите его сразу.

Чтобы решать подобные задачи, нужно использовать основное финансовое уравнение:

. (7.7)

Очевидно, что некоторые из стоящих в левой части уравнения слагаемых должны быть отрицательными. В уравнении пять переменных: n, i, PV, PMT и FV. Обычно в задаче оказываются известными четыре из них и требуется найти пятую. Например, в задаче с лизингом компьютера известно, что n = 36, PV = 19880,13 ден. ед. (это значение положительно, поскольку вам удастся сэкономить эту сумму, если вы решите брать компьютер в лизинг, а не покупать его), РМТ = –780. Это значение отрицательно, поскольку оно представляет сумму, которую вы должны будете выплачивать каждый месяц, если компьютер будет взят в лизинг) и FV = 0 (по окончании срока лизинга платежи не предполагаются). Следовательно, в нашем случае уравнение имеет вид:

.

Если бы вы рассматривали в качестве основного вариант покупки компьютера, то платеж в размере 19 880,13 ден. ед. оказался бы отрицательной величиной PV, а ежемесячные платежи были бы положительными – они были бы вашим доходом. В обоих случаях требуется найти значение n-месячной процентной ставки.

Если вы не используете финансовый калькулятор или электронную таблицу, единственным способом решить это уравнение для i будет метод подбора. Однако при наличии финансового калькулятора вы просто вводите значение четырех известных переменных (n = 36, PV = 19 880,13, PMT = –780, FV = 0) и затем нажимаете клавишу неизвестной пятой: в данном случае вы получаете i = 2. Поскольку это месячная процентная ставка, и она соответствует 12 · 2% = 24% годовых, то, возможно, она покажется вам завышенной и вы предпочтете купить компьютер, а не брать его в лизинг.

При использовании электронной таблицы Excel в данном случае следует воспользоваться функцией норма.

НОРМА (Число периодов; Выплата; ПЗ; БЗ; Тип) = НОРМА (36, –780, 19 880,13; 0; 0).

Результат равен 0,02, или 2%.

Если же вас интересует срок, в течение которого придется вносить лизинговые платежи по 780 ден. ед., то вам придется решить следующее уравнение относительно n:

С помощью таблицы Excel эту задачу можно решить, использовав следующую функцию:

КПЕР (Норма; Выплата; ПЗ; БЗ; Тип) = КПЕР (2%, –780, 19 880,13; 0; 0).

Аналогично величину периодического платежа можно найти, решив относительно РМТ уравнение:

Эту задачу решает такая функция Excel:

ППЛАТ (Норма; Число периодов; ПЗ; БЗ; Тип) = ППЛАТ (2%; 36; 19 880,13; 0; 0).

Бессрочные аннуитеты (перпетуитеты). Большинство видов аннуитетов предполагают, что платежи будут производиться через определенные промежутки времени, например по 100 ден. ед. в год, в течение фиксированного периода. Однако некоторые аннуитеты предполагают платежи в течение неограниченного времени (вечно). Такие аннуитеты называются бессрочными. Приведенное значение бессрочного аннуитета (РVP) можно найти с помощью очень простой и легко запоминающейся формулы:

(7.8)

Предположим, что каждая облигация должна приносить 100 ден. ед. дохода в год в течение неограниченного периода времени. Сколько бы стоила каждая такая облигация, если бы ставка альтернативных издержек, или ставка дисконтирования, равнялась 5%? Ответ окажется равен 2 тыс. ден. ед.:

Если бы процентная ставка выросла до 10% (вдвое), то стоимость облигации упала бы также вдвое – до 1 тыс. ден. ед.:

Таким образом, значение бессрочного аннуитета изменяется обратно пропорционально процентной ставке, т. е. значительно сильнее, чем значение обычного срочного аннуитета.

Временная стоимость неравномерных денежных потоков. Определение аннуитетов подразумевает постоянство платежей, иными словами, периодические выплаты должны быть одинаковы в каждом периоде. Хотя множество финансовых решений действительно требует постоянных платежей, гораздо чаще на практике встречаются неравномерные, или непостоянные потоки денежных средств. Так, по обыкновенным акциям обычно выплачивается увеличивающаяся с течением времени сумма дивидендов, а инвестиции в основные средства, например в новое оборудование, обычно в первые годы не приносят дополнительных доходов, но затем денежные потоки от их использования быстро нарастают. Следовательно, нужно иметь возможность расширить наше определение временной стоимости денег с учетом возможности получения и неравномерных потоков денежных средств.

Термин платеж (выплата) (РМТ) используется для постоянных денежных потоков, тогда как термин денежный поток (CF) тогда, когда речь идет о потоке неравномерных платежей или поступлений.

Приведенное значение неравномерного денежного потока. Текущее приведенное значение (PV) неравномерного потока денежных средств определяется как сумма PV составляющих его отдельных потоков. Предположим, например, что нужно найти текущее значение следующего потока денежных средств при ставке дисконта 6%.

0 5% 1 2 3 4 5 6 7

PV = ? 100 200 200 200 200 0 1 000

PV находится с помощью следующей общей формулы для приведенного значения:

(7.9)

На временном графике процесс дисконтирования каждого отдельного денежного потока представляется так:

Все, что необходимо было сделать, – это применить (7.9), показать в левой колонке диаграммы приведенные значения отдельных денежных потоков и затем сложить их так, как показано выше. Однако специфические свойства отдельных денежных потоков могут несколько упростить нашу задачу. Важно, что денежные потоки со 2-го по 5-й период представляют собой аннуитет. Можно использовать этот факт, сведя нашу теперешнюю задачу к уже решенной задаче нахождения PV аннуитета, существенно сократив объем вычислений:

0 5% 1 2 3 4 5 6 7

Отметим, что значение аннуитета (693,02 ден. ед.) сначала приводится к его началу, т.е. к первому году, а затем оно должно быть дисконтировано еще на один период – к году 0.

Будущее значение потока неравномерных потоков денежных средств. Будущее значение неравномерного потока денежных средств находится путем начисления сложных процентов до истечения времени потока на каждый из отдельных потоков денежных средств:

(7.10)

Вновь легко видеть, что чистое будущее значение оказывается равно текущему приведенному значению, наращенному за весь период поступления средств: .

Будущее значение неравномерного денежного потока, который приведен для примера, оказывается равно 2 124,92 ден. ед.

Нарастающие аннуитеты. Уже упоминалось, что обычно аннуитеты определяются как ряд постоянных платежей, которые производятся через заданное число периодов. Однако термин нарастающий аннуитет также встречается – для обозначения ряда платежей, которые нарастают с постоянной скоростью на протяжении определенного количества периодов. Наиболее частая сфера применения нарастающих аннуитетов – это ситуации, когда кто-то хочет получать постоянную реальную, скорректированную на темп инфляции доходность от своих вложений. Предположим, например, что 65-летний человек, выходящий на пенсию, предполагает прожить еще 20 лет, имеет 1 млн ден. ед. в активах инвестиционных фондов и предполагает получать доход от своих вложений в размере 10% в год. Он учитывает, что средний уровень инфляции в будущие годы составит 5% в год, и хочет расходовать на потребление ежегодно постоянную сумму в реальном выражении. Какова максимальная сумма, которую он сможет выводить из своих активов в конце каждого года и использовать на потребление?

Чтобы решить эту задачу, сначала необходимо найти реальную процентную ставку, ожидаемую на протяжении жизни данного пенсионера от вложений в его активы. Это можно сделать так, как показано ниже:

Для нашего пенсионера реальная доходность его вложений составит:

Теперь, пользуясь финансовым калькулятором, легко найти, что пенсионер сможет ежегодно расходовать сумму по 78 630, 64 ден. ед. в постоянных ценах. Номинальная же сумма, которую он будет расходовать, будет увеличиваться на 5% в год – с темпом инфляции.

Наращение сложного процента за периоды меньше одного года. До сих пор во всех примерах всегда показывалось, что сложные проценты начисляются один раз в год, т. е. рассматривалось годовое начисление сложного процента. Однако довольно часто можно встретить ситуацию, когда начисление процентов происходит чаще, чем раз в год. Так, банк может начислять проценты из расчета 6% годовых, но с начислением каждые 6 месяцев с капитализацией. Это называется полугодовым начислением. Как рассчитать, какую сумму вы накопите при первоначальном вложении, скажем, 100 ден. ед. на конец одного года, двух лет или какого-нибудь другого периода при полугодовом начислении процентов? Заметьте, что фактически по любым облигациям проценты выплачиваются также раз в полгода, по большинству акций дивиденды выплачиваются раз в квартал, а большинство розничных потребительских кредитов и кредитов на образование требует ежемесячных платежей. Следовательно, нужно научиться обращаться с начислением процентов за произвольные периоды времени.

Чтобы проиллюстрировать полугодовое начисление сложных процентов, предположим, что 100 ден. ед. положены на банковский депозит на три года при ставке в 6% с годовым начислением и капитализацией. Сначала рассмотрим, что будет происходить при ежегодном начислении сложных процентов.

0 6% 1 2 3

-100 FV = ?

В данном случае будущая сумма на счете окажется равной:

Что же изменится, если проценты будут выплачиваться раз в полгода, а не раз в год? Во-первых, когда платежи производятся чаще, чем раз в год, сначала нужно: 1) преобразовать объявленную номинальную процентную ставку в периодическую ставку, начисляемую за каждый период, и 2) преобразовать число лет в число периодов. Это делается так:

Общее число периодов платежей =

= Число лет · Число периодов платежей за год.

В предлагаемом примере:

Периодическая ставка = за полгода, Общее число периодов платежей = 3 · 2 = 6.

В данной ситуации депозит будет приносить 3% дохода каждые шесть месяцев в течение шести периодов, а не 6% в год в течение трех лет. Как будет дальше видно, между этими величинами существует определенная разница. Отметим также, что когда вы имеете дело с годовым начислением процентов чаще, чем раз в год, при вводе значений в калькулятор и электронные таблицы должны указываться периодические ставки и общее число периодов, а не годовые ставки и число лет.

Теперь можно построить временной график для расчета нашего депозита с полугодовым начислением процентов:

0 5% 1 2 3 4 5 6

–100 FV = ?