19.Распределение Пуассона
Рассмотрим
дискретную случайную величину Х,
принимающую только целые неотрицательные
значения (0, 1, 2,…, m,…),
последовательность которых бесконечна,
но счетна. Такая случайная величина
называется распределенной по закону
Пуассона, если вероятность того, что
она примет значение m,выражается
формулой Пуассона:
P(X=m)=
Где λ-параметр закона Пуассона(положит величина) .
xi |
0 |
1 |
2 |
… |
m |
… |
pi |
e |
|
|
… |
|
… |
Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное
свойство ряда распределения выполнено, ибо сумма всех вероятностей
равна 1:
+
+
+
+…=
=e
Мат.ожидание и дисперсия СВ Х,распределенной по закону Пуассона, вычисляются соответственно по формулам:
M(X)= λ;D(X)=λ;
Т-ма: Сумма двух независимых СВ, подчиняющихся распр-ю Пуассона с параметрами λ1 и λ2, также имеет распределение Пуассона с параметром λ1+λ2.
20.(Гипер-)геометрич распределение
ДСВ Х, принимающую только целые положительные значения (1, 2,…,m,…),послед-сть кот-х бесконечна, но счетна, имеет геометрическое распределение, если вероятность того, что она примет значение m, выражается формулой:
P(X=m)=pqm-1
xi |
1 |
2 |
… |
m |
… |
pi |
p |
pq |
… |
pqm-1 |
… |
Т-ма: Мат. ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по геометрич. закону, вычисляются соответственно по формулам:
M(X)=1\p;
D(X)=q\p2
Гипергеом-ое:Пусть имеется N элементов, из которых М элементов обладают некоторым признаком А. Извлекаются случайным образом без возвращения n элементов. Х – дискретная случайная величина, число элементов обладающих признаком А, среди отобранных n элементов.Вер-ть, что Х=m, где m=0,1,2,...,min{n,M},опр-ся по ф-ле:
P(X=m)=
Т-ма: Мат.ожид-е и дисп-я опред-ся ф-лами:
М(Х)=n
D(X)=n
Равномерное распределение в интервале
НCB Х имеет равном.з.распр-я на отрезке [a,b],если ее плотность вероятности р(х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.
Найдём константу
с для равномерн ЗР:
|
=1
c(b-a)=1,
=>
с=1\(b-a).
ФР для норм ЗР мб найдена из соотношения:
и имеет вид:
М(Х)=
; D(X)=
Р(
<X<
)=(
-
)/(b-a)
22.Показательное распределение.
НСВ имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид:
График имеет вид:
ФР для экспоненц з-на:
М(Х)=1/
;
D(X)=1/
Р(a<X<b)=F(b)-F(a)=e
-e
23.Нормальный зр
НСВ Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а иσ2, если ее плотность вероятности имеет вид:
р(х)=
при -∞<х<+∞;
x=a
max
ФР для норм з-на имеет вид:
F(x)=
ФР для норм з-на выражают через ф-цию Лапласа:
F(x)=
Вероятность попадания норм-но распределённой СВ Х в интервал от до :
Р( <Х< )=F( )-F( )=
=
М(Х)=а; D(X)=σ2;
25.(теорема Чебышева). Если Х1, Х2,…, Хn – попарно независимые случайные величины, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной, т.е. D(Xi) ≤ C, то при неограниченном увеличении числа n и для сколь угодно малого числа ε имеет место равенство:
