5. Побудова математичних моделей експериментально-статистичними методами.

При математичному описі процесів хімічної технології не завжди вдається знайти точний функціональний зв'язок між досліджуваними перемінними, спираючись на фундаментальні закони збереження маси та енергії, закони хімічної кінетики і т.п.

У таких випадках доцільно на підставі експериментальних даних шукати емпіричну залежність, що формально відображала би вплив вхідних перемінних Х на вихідні У. При виборі виду емпіричної формули зручно нанести експериментально одержані значення Х та У на графік і по характеру цієї залежності вибрати придатну апроксимуючу функцію (наприклад, логарифмічну, показову, тригонометричну чи ін.)

Традиційним методом при складанні таких моделей є пасивний експеримент, відповідно до якого ставиться велика серія дослідів з почерговим варіюванням кожної з перемінних. До пасивного експерименту відноситься також збір вихідного статистичного матеріалу в режимі нормальної експлуатації на промисловому об'єкті. У цьому випадку обробка дослідних даних для одержання математичної моделі здійснюється методами класичного регресійного і кореляційного аналізу.

Крім того, методи кореляційного регресійного аналізу застосовуються при одержанні напівемпіричних і емпіричних співвідношень між різними параметрами (залежностей коефіцієнтів масопередачі від швидкостей потоків фаз, теплоємності і щільності від складу і температури й ін.), які використовуваються при блочному принципі побудови математичного опису ХТП.

Практично задача визначення параметрів рівняння регресії зводиться до визначення мінімуму функції багатьох перемінних.

Якщо Y = f(x_i, b₀, b₁, b₂,…) є функція диференційовона і потрібно вибрати так, щоб

Ф = y_i-f(x_i,b₀,b₁,b₂,…)² = min,

те необхідною умовою мінімуму (b₀,b₁,b₂,…)є виконання умов:

…

чи

(5.1)

……………………………………...

Після перетворень одержимо:

(5.2)

…………………………………………………..

Одержана система рівнянь містить стільки ж рівнянь, скільки невідомих коефіцієнтів … входить у рівняння регресії, і називається в математичній статистиці системою нормальних рівнянь. Оскільки Ф0 при будь-яких ..., у величини Ф обов'язково повинен існувати хоча б один мінімум. Тому, якщо система нормальних рівнянь має єдине рішення, воно і є мінімумом для величини Ф. Вирішувати систему нормальних рівнянь у загальному виді не можна. Для цього треба задатися конкретним видом функціональної залежності У = f(x_i, b₀, b₁, b₂ …).

5.2 Лінійний регресійний аналіз

У хімічних задачах часто використовується лінійний регресійний аналіз, у якому функція що апроксимується є лінійна функція

Метод найменших квадратів полягає в мінімізації суми квадратів зважених відхилень:

(5.3)

Коефіцієнти b0 і b1 будуть щонайкраще задовольняти рівнянню прямої, якщо будуть виконуватися наступні умови:

(5.4)

Таким чином, одержуємо наступну систему лінійних рівнянь другого порядку:

(5.5)

де n – число експериментальних крапок; _i – ваговий фактор:

при _i =1 – використовується одиничне зважування;

_i =1/yi – використовується статистичне зважування;

_і =1/G_i² – використовується інструментальне зважування.

Застосовуючи правило Крамера, одержуємо наступне вираження для обчислення b₀, b₁:

	(5.6)
де	(5.7)
	(5.8)

Дисперсію адекватності розраховують по рівнянню:

(5.9)

Середні квадратичні відхилення коефіцієнтів b₀ і b₁ відповідно дорівнюють:

	(5.10)
	(5.11)

Коефіцієнти кореляції обчислюються за формулою:

(5.12)

Вихідними даними для розрахунку є: число експериментальних крапок n, два одномірних масиви X_i, Y_i, ознака типу вагових коефіцієнтів _i.

Дисперсія адекватності в програмі визначається по рівнянню:

(5.13)