- •Одномерная оптимизация. Необходимые и достаточные условия оптимальности. Принцип сужения интервала неопределенности для унимодальных функций.
- •Одномерная оптимизация. Постановка задачи. Метод половинного деления. Оценка погрешности.
- •Одномерная оптимизация. Постановка задачи. Метод "золотого" сечения, Фибоначчи.
- •Одномерная оптимизация. Постановка задачи. Метод Ньютона-Рафсона.
- •6. Одномерная оптимизация. Постановка задачи. Метод квадратической аппроксимации.
- •7. Многомерная оптимизация. Основные определения и понятия функции нескольких переменных (фнп). Необходимые и достаточные условия экстремума.
- •8. Многомерная оптимизация. Основные определения и понятия функции нескольких переменных (фнп). Обусловленность задачи поиска минимума фнп.
- •9. Постановка задачи безусловной оптимизации фнп. Методы нулевого порядка. Метод покоординатного спуска.
- •1.2& Метод покоординатного спуска.
- •10. Постановка задачи безусловной оптимизации фнп. Метод многогранника. Алгоритм метода.
- •Постановка задачи безусловной оптимизации фнп. Метод Монтер-Карло. Алгоритм метода. Основные параметры метода.
- •12. Постановка задачи безусловной оптимизации фнп. Градиентные методы и метод наискорейшего спуска.
- •13. Постановка задачи безусловной оптимизации фнп. Градиентный метод с добрым шагом. Алгоритм выбора длины шага.
- •14. Постановка задачи безусловной оптимизации фнп. Овражный метод.
- •15. Постановка задачи безусловной оптимизации фнп. Методы второго порядка. Метод Ньютона.
- •16. Пз безусловной оптимизации фнп. Методы второго порядка. Метод Ньютона с дробным шагом. Алгоритм выбора длины шага.
- •17. Общая постановка задачи условной оптимизации. Постановки задач линейного и целочисленного программирования. Необходимые и достаточные условия оптимальности злп.
- •18. Общая и стандартная постановки злп. Переход от общей постановки задачи к стандартной.
- •19. Графическое решение злп. Основные понятия и идея решения задачи.
- •20. Симплекс-метод решения злп. Построение начальной симплекс-таблицы.
- •21.Оценка решения, представленного данной таблицей, на оптимальность и, если оптимум не достигается, поиск переменной, вводимой в базис.
- •22.Определение выводимой из базиса переменной.
- •23. Выбор начального решения
- •24. Анализ ресурсов.
- •25. Анализ цен
- •26. Целочисленное деление.
- •27. Постановка транспортной задачи. Балансировка задачи.
- •28. Сведение транспортной задачи к задаче линейного программирования.
- •29. Постановка транспортной задачи. Поиск допустимого нач.Решения. Метод с-з угла. Метод min стоимости.
- •35.Алгоритм Форда-Фалкерсона
17. Общая постановка задачи условной оптимизации. Постановки задач линейного и целочисленного программирования. Необходимые и достаточные условия оптимальности злп.
ПЗ: Дана линейная функция L(x1,x2,...,xn) n переменных. Необходимо найти точку оптимума этой функции: L(x) ---> opt ,
при ограничениях: Ax-b>= 0 или , i=1...m.
где x = (x1,x2,...,xn).
1) при ограничении вида
2)
3)
4)
1) при ограничении вида
18. Общая и стандартная постановки злп. Переход от общей постановки задачи к стандартной.
Общая: Дана линейная функция L(x1,x2,...,xn) n переменных. Необходимо найти точку оптимума этой функции: L(x) ---> opt ,
при ограничениях: Ax-b>= 0 или , i=1...m.
где x = (x1,x2,...,xn).
Стандартная: Ax=b
Для приведения задачи к стандартному виду: ввести переменные и записать целевую функцию и ограничение задачи.
Метод и алгоритм решения стандартной задачи линейного программирования и способы сведения любой задачи линейного программирования к стандартной форме, которая состоит в следующем. Задана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
(3.7)
и линейная функция относительно переменных х1, х2, ¼, хn:
(3.8)
Требуется найти такие неотрицательные значения переменных х1, х2, ¼, хn, которые бы удовлетворяли системе линейных уравнений (3.7) и, кроме того, обращали в максимум линейную функцию (3.8).
Заметим, что если по условиям задачи требуется отыскать минимум функции L, записанной в виде (3.8), то задачу можно свести к задаче максимизации функции L¢, связанной с функцией L так:
L¢ = - L = -c1x1 - c2x2 - ¼ - cnxn. (3.9)
Максимум функции (3.9) и минимум функции (3.8) будут достигаться при одном и том же наборе переменных (х1, х2, ¼, хn), удовлетворяющих условиям неотрицательности переменных и уравнениям (3.7), областью определения задачи.
Пример перехода от общей задачи к стандартной в 20 вопросе.
19. Графическое решение злп. Основные понятия и идея решения задачи.
Если число неизвестных в задаче линейного программирования равно двум, т.е. n = 2, то ее можно решить графическим методом. Кроме того, графический метод дает геометрическую интерпретацию решения ЗЛП.
Пример:
Задача: Предприятие производит краски 2-х видов: I – для внутренних работ, E – для внешних работ. A,B – исходные продукты, использующиеся для производства I,E.
Доход от реализации 1т краски I – 2000$, E – 3000$
Коэффициенты расхода исходных продуктов A и B на производство 1т краски I и E:
|
I |
E |
Суточный запас, тонн |
A |
2 |
1 |
6 |
B |
1 |
2 |
8 |
Известно, что суточная потребность краски для внутренних работ не превышает 2т, т.е. суточный спрос на I <=2т. Суточный спрос I не превышает суточного спроса на E больше чем на 1т.
Найти: оптимальный суточный план производства красок, максимизирующий ожидаемый максимальный доход.
Математическая постановка задачи:
Обозначим XI(т/сут) – краски I ; XE(т/сут) – краски E.
Целевая функция: - ожидаемый максимальный доход
Ограничения на запас продукта А:
Ограничения на запас продукта В:
, ,
При XI=0 и XE=0
Найдем точку пересечения:
-3XI=-4 XI=4/3 XE=10/3
Z(4/3;10/3)=38/3 Z(0;4)=12
Идея решения задачи: Используя Симплекс-метод, получить последовательность базисных решений и оптимальное решение.
Целевая функция представляет собой взвешенную линейную сумму от неизвестных переменных xi вида: Z=c*xi c- вектор целевой функции.
Ограничения, накладываемые на область возможных решений, имеют вид линейных равенств или неравенств: где ai, bi - известные величины, причем величины aj, xi, bi положительные.
Допустимым решением задачи линейного программирования будем называть любую совокупность переменных
х1 ³ 0, х2 ³ 0, ¼ , хn ³ 0, (3.10)
удовлетворяющих уравнениям
Оптимальным решением будем называть то из допустимых решений, для которого линейная форма Z обращается в максимум (минимум).