- •1.Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины(или n столбцов одинаковой длины).
- •2.Умножение матрицы на число
- •3.Умножение матриц
- •2 Матр а и в соглас-е, если число строк матр а равно числу столбцов матр в, и наоборот.
- •9. Система m-линейных ур-й с n неизв-ми. Матричная запись системы. М-д обр матрицы. М-д Крамера.
- •10. Метод Гаусса. Эквив преобраз-я систем. Базисные и своб неизвестные. Критерий совместности.
- •Перестановка уравнений системы.
- •По исх сист записываем расшир матр системы.
- •Amn ≠ 0 – система имеет единственное решение
- •11. Системы линейных однородных уравнений.
- •13.Вектор на плоскости и в простр-ве. Лин опер-и над в-ми, их св-ва. Базис на пл-ти и в простр-ве. Ортонормированный базис.
- •21.Уравнение прямой-уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.
- •23.Углом между двумя прямыми называется любой из двух углов, образованных прямыми при их пересечении.
- •25.Расстояние от точки до прямой
- •26,27.Окружность
- •28.Гипербола, ее характеристики, геометрические свойства
- •29.Где идут буквы с нулями-это значит,например x0,только в уменьшенном варианте где s,n-это вектора ,сверху палочку подрисуйте¯; √- этот корень всегда доводите до конца выражения
- •30.Плоскость.Условие параллел-ти и перпендик-ти
- •1 Из спос-в зад-я пл-ти через зад точку m0(x0,y0,z0) с заданным нормальным вектором n(a;b;c)
- •31.Расстояние от точки до плоскости.Угол между плоскостями
- •32.Пр линия в пр-ве.Параметрич ур-е прям.Канонич ур-е пр
- •36.Предел числовой последовательности (чп).
- •X1, x2,…xn,…-числ послед.(1), xn-общ член чп.
- •37.Понятие ф-и. Сп-бы задания ф-й, оп-ции над ними. Обр ф-ия. Элемент ф-ии, их классификация.
- •39.Осн теоремы о пределах. Замечат пределы.
- •40.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •1)Первая теорема Вейерштрасса
- •2) Вторая теорема Вейерштрасса
- •3) Теорема Больцано-Коши о промежут.Значении
- •43.Произв. Ф-ции. Геометр., механ., экон. Смысл произ-ной. Эласт-сть ф-ции, ее экон приложение.
- •45.Производная показательной неявной функции. Производные высших порядков:
- •47.Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.
- •55.Понятие функции многих переменных
- •56.Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
- •57.Частные производные первого и второго порядка
- •58.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
- •2) , Экстр-ма в т. Нет
- •3) , Треб-ся доп исслед-е
- •1) Выбор точки ; 2) устан-ть вид вычисл-мой ф-и
- •2) , Экстр-ма в т. Нет
- •3) , Треб-ся доп исслед-е
- •62.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных
- •1 Из алгоритмов реш-я этой задачи сводится к след
- •II этап
- •64,65.Неопред интеграл, первообразная и их св-ва.
- •67.Интегрир-е путем замены переменной(подстановкой)
- •72.Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •73.Формула Ньютона-Лейбница (вывод)
- •74.Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •2)Определение средних значений
- •Издержек производства
- •2)И. На конечном промежутке
- •82.Дифференциальное уравнение(ду)
- •83.Ду 1го порядка
- •2)Имеет частную произв-ю по y для любой точки
- •92,93Лин неоднор ду 2-го порядка с пост коэфф-ми.
- •94.Числовой ряд и его сходимость.
- •2.Сумма ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Гармонический ряд (док-во его расходимости).
- •96.Свойства сходящихся рядов
- •97.Достат признаки сх-ти ряда с положит членами.
- •98. Признаки сравнения рядов
- •101.Теорема Абеля.
- •103.Свойства степенных рядов .
- •2) Степенной ряд можно дифференцировать бесконечное число раз.
- •3) На произвольные функциональные ряды данная теорема без специальных предположений не распространяется.
- •104.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •105.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •106.Применение рядов в приближенных вычислениях. Оценка точности вычислений
- •99. Знакочеред ряды. Достат усл-е сх-ти (теорема Лейбница). Абсол и условная сходимость.
- •Определение опред. Интеграла
По исх сист записываем расшир матр системы.
с пом эл-в эквивал преобраз-й 1-4 приводим расшир матр к виду верхней треуг или трапециевидной.
a11
a12 ….. a1n
0
a22…….. a2n
0
0……
ann
b1
b2 …..
bn
( А/В) ~
(1)
a11
a12
…. a1r…a1n
0 a22
….. a2r…a2n
0 0 ….. arr.....arn
b1
b2
br
(2)
или (2) – прямой ход Гаусса.
Далее по получ преобраз матр (1) или (2) восстан-м сист и решаем ее, начиная с посл ур-я.
Пр-с нах-я решений восстановл систем (1) или (2) наз обр ходом Гаусса.
При этом возможны следующие случаи:
Amn ≠ 0 – система имеет единственное решение
ann = 0, bn ≠ 0 – не имеет решений
В случае трапециев матр возможны след ситуации:
1. Один из эл-в посл строки arr,arr+1,…..,arn ≠0, то сист имеет бескон мн-во реш-й, кот нах-т след образом: переем-е, кот соотв-т гл базисному минору объявляют базисными. Все оставшиеся переем-е явл своб. Далее своб переем-м придаём произв зн-е, чаще всего переобозначают эти зн-я xr+1 = α, …,xn=αn-r
α1, ….., αn-r принадл-т R и выражают базисные переем-е через свободные, начиная с посл Ур-я.
2.ann=0, bn≠0 СЛАУ несовместима
arr, arr+1, …. , arn=0, br≠0
Критерий совместимости СЛАУ:
Теорема Кронекера-Капелли
Для того, чтобы СЛАУ, где AX=B, где матр A разм-ти m*n была совместной необх-мо и дост-но, чтобы ранг осн матр системы был равен рангу расшир матр системы.
r(A) = r(A/B)
Док-во:
Необходимость: пусть СЛАУ AX=B совместна.
Доказать, что ранги равны.
Сущ набор чисел (α1, α2…..αn), что будучи подставл в каждое из ур-й системы получим:
a11α1
+ a12α2
+ . ………. + a1nαn
= b1
a21
α1
+ a22α2
+ … …… + a2n αn
= b2
am1α1
+ am2 α2
+ ………… + amnαn
= bm
Рассмотрим расширенную матрицу системы
a11
a12
….. a1n
a21
a22……..
a2n
am1
am2……
amn
b1
b2 …..
bm
0 0 … 0
(
A
―—”——
~
След-но r(A/B) = r(A)
Док-ть, что СЛАУ совместна, если ранги равны.
Д
a11
a12
…. a1r…a1n
0 a22
….. a2r…a2n
0 0 ….. arr.....arn
b1
b2
br
Случай 1. r(A)≠r(A/B), то СЛАУ несовместна.
Случай 2. r(A/B)=r(A)=n –СЛАУ совм и имеет единств реш-е.
Случай 3. r(A/B) = r(A)=r < –СЛАУ совм и имеет беск мн р-й.
11. Системы линейных однородных уравнений.
AX=B; B=0
Теорема 1. ОСЛАУ всегда совместна, т.к. она всегда имеет как минимум тривиальные решения. Интерес представляют ОСЛАУ, которые имеют нетривиальные решения.
Док-во: Пусть задана X=(0;0;…;0) – нулевая матрица-столбец, причём основная матрица А – квадратная. Тогда если detA≠0, то ОСЛАУ имеет тривиальное решение.
Теорема 2. Задана матрица А размерности m*n, число уравнений которой не равно числу неизвестных,то если r(A) = n,следовательно, ОСЛАУ имеет только тривиальное решение; если r(A)<n, то ОСЛАУ имеет бесконечное множество решений.
Если ОСЛАУ имеет бесконечное множество решений, то их можно найти, например, методом Гаусса.