19.Точки разрыва и их классификация

Точки в которых нарушает непрерывность функции называют точками разрыва. Точки разрыва различаю на точки разрыва первого и второго рода. Точки разрыва первого рода пусть точка , есть точка разрыва причем односторонние пределы. односторонний предел слева равен а, а предел с права равен b. Причем a,b есть постоянное число, тогда называется точка разрыва первого рода со скачком равным |a-b| при этом если a=b, то точку называют устранимой точкой разрыва первого рода.

20. Понятие производной ф-ии и её физич. смысл

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

1) Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени. Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

21. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.

Геометрический смысл производной.

Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x0:

22.

23.

24. Производная сложной функции.

Ф-ция y=f(x) наз-ся сложной ф-цией по переменной t, если её аргумент является ф-ей от t (x=x(t)) и она имеет вид y=f(x(t))), где t-независимая переменная, а x- промежуточная переменная, т.е. Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

Теорема:

Пусть ф-ция y=f(x) в т. x₀ дифференцируема, т.е. имеет производую, а ф-ция x=x(t) дифференц в т. t₀ , тогда сложная ф-ция y=f(x(t)) также дифференцируема в т. t₀, причем y ` <sub>t</sub>= y` _x *x` _t

25. Производная обратной функции

Пусть ф-ция y=f(x) имеет обратную ф-цию x=x(y) и ф-ция y=f(x) дифференцируема, тогда дифференцируема и обратная функция, причем производная обратной ф-ции находится по формуле: x`_y =

26. Производная от ф-ций, заданных параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

27. Логарифмирование функций

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называютлогарифмическим дифференцированием.

<< Пример 22.1

Найти производную функции 

Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:

Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования.

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция у=u^v, где u=u(x) и ν=ν(х) - заданные дифференцируемые функции от х. Найдем производную этой функции:

Сформулируем правило запоминания формулы (22.1): производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии u=const, и производной степенной функции, при условии ν=const.

28.Производная от неявно заданных функций

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

29.Необходимые и достаточные условия существования экстремумов функции

О. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если при любом достаточно малом h >0,выполняются условия:

f(x ₀-h )>f (x ₀) и f(x ₀+ h)>f(x ₀),

т.е можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие

f ( x ) > f ( x ₀ ).

О. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если при любом достаточно малом h >0,выполняются условия:

f(x ₀-h)< f(x ₀) и f(x ₀+h )< f(x ₀),

т.е если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

f ( x ) < f ( x ₀ ).

На рис. 4.3 Приведены примеры точек максимума и минимума.

Точка х₁- точка максимума, х₂- точка минимума.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема.(Необходимое условие экстремума). Если функция y =f(x) в точке х₀имеет экстремум, то производная f^/( x ₀ ) равна нулю.

О. Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной.

Стационарная точка необязательно является точкой экстремума функции.

О. Точка в которой производная функции равна 0 или не существует, называется критической точкой.

Теорема(Достаточное условие экстремума).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a , b], а точка x₀ из этого отрезка является критической. Тогда:

1) если f^/(x) < 0 на (a;x₀) и f^/(x) > 0 на (x₀;b), то точка x₀–точка минимума функции f(x);

2) если f^/(x) > 0 на (a;x₀) и f^/(x) < 0 на (x₀;b), то точка x₀–точка максимума функции f(x).

Уровень 2. Докажем первое утверждение теоремы.

Так как f^/(x) < 0 на (a;x₀) и f(x) непрерывна в точке x₀, то f(x) убывает на (a;x₀], и для любого x принадлежащего(a;x₀) выполняется условие f(x)>f(x₀).

Так как f^/(x) > 0 на (x₀;b) и f(x) непрерывна в точке x₀, то f(x) возрастает на (x₀;b], и для любого x принадлежащего (x₀;b) выполняется условие f(x)>f(x₀).

В результате получается, что при любом x не равном x₀ из (a;b) выполняется нера­венство f(x)>f(x₀), то есть точка x₀–точка минимума f(x).

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично .

30. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда свои наибольшее и наименьшее значения функция достигает в критических точках, лежащих внутки отрезка [a,b], либо на концах отрезка.

Т.о., для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке нужно:

- найти все критические точки фунции, лежащие внутри отрезка [a,b]

- Вычислить значения функции в этих точках и в точка a и b

- Выбрать наибольшее и наименьшее значения.

31. дифференциал функции и его геометрический смысл

Пусть ф-ция y=f(x) в т. х₀ имеет производную, тогда приращение ф-ции Δy а этой точке можно представить Δy =f `(x₀) * Δx+α(Δx) Δx, где Δx-приращение независимой переменной,а α(Δx) – бесконечно малая функция, более высокого порядка, чем Δx.

=0 , при этом f `(x₀) * – называется главным приращением ф-ции.

Если ф-ция в т. x₀ имеет производную, то говорят, что она дифференцируема и справедливо следующее условие, ф-ция y=f(x) дифф. в т. x₀ тогда и только тогда, когда её приращение можно представить в виде f `(x₀) *

Главная часть приращения ф-ции в т. x₀ называется дифференциалом ф-ции и обозначается dy=df(x)= f `(x₀) * Замечание: Дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением

dx= , т.к. x ` =1, тогда dy=f `(x) *dx, откуда получаем f `(x) =

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной xприращение Δx, тогда функция получит приращение Δy =NM₁. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка

M₁(x+Δx; y+Δy).

Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, тоNT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.

Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

32. Применение дифференциалов ф-ций к приближенному вычислению

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

∆у≈dy,                                              (24.3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.

33. Теорема Ферма

Теорема Ферма. Пусть функция  определена и непрерывна на промежутке   и в некоторой внутренней точке   этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения, если в этой точке существует производная, то она равна нулю:  .

Доказательство

Пусть, для определенности, в точке   функция   достигает своего наибольшего.

По условию теоремы эта точка внутренняя, т.е.  , и поэтому к этой точке можно подойти и слева и справа.

Пусть мы подходим к   слева. Тогда

(т.к.   - наибольшее значение)

(т.к. мы подходим слева)

Делая предельный переход   получим

Пусть мы подходим к точке   справа. Тогда

(т.к.   - наибольшее значение)

(т.к. мы подходим слева)

Делая предельный переход   получим

Совместить два полученных неравенства можно только в одном случае:  . ч.т.д.

Геометрический смысл доказанной теоремы ясен из рисунка: в точке наибольшего или наименьшего значения функции касательная к графику функции параллельна оси OX.

1. Существование ограничений

В теореме Ферма по сути дела два ограничения: а) точка   расположена внутри отрезка   и б)  . Покажем, что оба ограничения являются существенными, т.е. отказ от любого из них приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным.

а) “внутренность” точки  .

Если максимум или минимум функции   достигается на границе отрезка, то утверждение теоремы Ферма неверно. При доказательстве это проявляется в том, что мы сможем подойти к точке   только с одной стороны и поэтому не получится второго, противоположного неравенства.

б) существование производной.

Пусть в точке   существуют только односторонние производные. Тогда, как это видно из рисунка, теорема Ферма неверна. При доказательстве это проявиться в том, что получаться неравенства   и  , которые нельзя будет объединить в одно равенство, т.к. теперь