1. Коммутативность

x₁ & x₂ = x₂ & x_1.

x₁ v x₂ = x₂ v x_1.

2. Ассоциативность

x₁ v (x₂ v x₃) = (x₁ v x₂) v x_3.

x₁ & (x₂ & x₃) = (x₁ & x₂) & x_3.

3. Дистрибутивность

x₁ & (x₂ v x₃) = (x₁ & x₂) v ( x1 & x₃ ).

x₁ v (x₂ & x₃) = (x₁ v x₂) & ( x1 v x₃ ).

Отметим также важные соотношения:

X v X = X, X & X = X, X v 1 = 1, X & 1 = X,

X v 0 = X, X & 0 = 0, X v X = 1, X & X = 0.

Положим x ^ = { X , если  = 1; X , если  = 0 } .

Утверждение. Любая функция алгебры логики кроме 0 может быть представлена в форме

f(x ₁...x_n) =  x₁ ^ & x₂ ^... & x_n ^ (5.1)

При этом дизъюнкция в правой части берется только по тем наборам аргументов, на которых функция, заданная таблично, обращается в 1.

Определение. Представление функции алгебры логики в виде (5.1) называется ДСНФ - дизъюнктивной совершенной нормальной формой.

Для построения ДСНФ необходимо выполнить следующие шаги:

• выбрать в таблице истинности заданной функции все наборы аргументов, на которых функция равна 1;

• выписать соответствующие этим наборам конъюнкции, при этом, если аргумент x_i входит в данный набор как 1, то он записывается без изменений, если же как 0 , то берется ;

• все полученные конъюнкции объединяются под знаком дизъюнкции.

Утверждение. Любая функция алгебры логики кроме 1 может быть представлена в форме:

f ( x1, x2,...,xn ) = & (x₁ ^ v x₂ ^ v ... v x_n ^ ). ( 5. 2 )

Конъюнкция берется только по тем наборам , на которых функция

равна 0.

Определение. Представление функции алгебры логики в виде

формы (1. 2) называется СКНФ - совершенной конъюнктивной нормальной формой. Для ее получения используют следующие действия:

• выбрать в таблице истинности заданной функции все наборы аргументов, на которых функция равна 0;

• выписать дизъюнкции, соответствующие этим наборам аргументов , учитывая ;

• все полученные дизъюнкции соединить под знаком конъюнкции.

8. Минимизация функций алгебры логики

Работа автомата может быть полностью описана с помощью следующей системы функций алгебры логики [7]:

y₁= f₁ (x₁ ... x_n )

y₂= f₂ (x₁ ... x_n )

...

y_m= f_m (x₁ ... x_n )

Здесь Pi = ( X1, X2, ...,Xn ); Qj = ( y1, y2, ...,ym ) - соответственно входное и выходное слово . Работа автомата может быть задана либо в виде конечных таблиц, либо в виде аналитической записи функций f_{i .}

Проблема полноты системы функций эквивалентна проблеме выбора стандартного набора элементов, из которого будет строиться автомат, при этом все функции f_i должны быть выражены через базисные функции. Уменьшение числа функций в базисе приводит к уменьшению стандартных элементов, на которых строится схема, однако, при этом увеличивается общее число элементов схемы. Возникает задача о “простейшем” представлении логических функций через систему базисных функций. Для этого используют методы минимизации:

• метод вынесения за скобки;

• метод неопределенных коэффициентов;

• метод с использованием карт Карно;

• метод Мак - Класки;

• метод Блэка.

Рассмотрим метод минимизации СДНФ с помощью карт Карно. Карта Карно - это диаграмма, состоящая из 2ⁿ квадратов, где n - число переменных. Клетка карты - одна из возможных конъюнкций, входящих в СДНФ. Минимизация на основе карт Карно осуществляется путем локализации на карте прямоугольных областей из числа клеток кратного 2.

Для работы с картой необходимо по таблице истинности составить СДНФ, затем для каждой элементарной конъюнкции проставить 1 в соответствующие клетки карты. Затем единицы объединяются таким образом, чтобы минимизировалось число логических сложений, умножений или отрицаний, что важно для экономного конструирования ЭВМ.

Для двух переменных: Для трех переменных:

a a

c

b

b

Для четырех переменных:

a

c

c d

d

b

Пример. Для логической функции заданной таблицей

x1	x2	x3	f
1	1	1	1
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	1
0	1	1	1

построить карту Карно и на ее основе минимизировать функцию.

Решение. Построим карту согласно описанным выше правилам.

x₁

1 1 f = x1 v x2 & x3

x_{2 1 1 1}

x₃

Рассмотрим пример представления простейшей функции картой Карно

a

c 1 1

c 1 1 d

f = b

1 1 d

1 1

b

Рассмотрим построение логической схемы для функции вида:

f1 = V2 & V4 v V3 & V1 & V2 v V3 & V4 & V1.

V 1

V 2

V 3

V 4

& & & & &

& &

&

&

1

1

f1