Количественные характеристики правильных многогранников

Многогранник	Вершин	Ребер	Граней
Тетраэдр	4	6	4 треугольника
Куб (гексаэдр)	8	12	6 квадратов
Октаэдр	6	12	8 треугольников
Икосаэдр	12	30	20 треугольников
Додекаэдр	20	30	12 пятиугольников

Для всех выпуклых многогранников выполняется теорема Эйлера: В – Р + Г = 2,

где В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней.

• Проверьте теорему для правильных многогранников!

Круглые тела (тела вращения) Цилиндр

Цилиндр – это геометрическое тело, которое состоит из двух равных и параллельных кругов, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, − образующими цилиндра.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

На рис. а) прямой цилиндр, б) наклонный цилиндр.

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр!

Круги с центрами О и О₁ – основания цилиндра.

АА₁, ВВ₁, СС₁ – образующие цилиндра.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания (ОВ, О₁В₁ – радиусы цилиндра).

Высотой цилиндра называется расстояние между основаниями.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований (ОО₁).

Свойства цилиндра:

• основания цилиндра равны и параллельны;

• образующие цилиндра равны и параллельны.

Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Простейшие сечения цилиндра.

1. Осевое сечение цилиндра – это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник.

2. Сечение цилиндра плоскостью параллельной основанию. В этом случае сечением является круг, равный и параллельный основанию.

Конус

Конус – это геометрическое тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, − вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

На рис. а) прямой конус, б) наклонный конус.

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус!

S – вершина конуса.

Круг с центрами О – основание конуса.

SA, CB, SС – образующие конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

Осью конуса называется прямая, содержащая его высоту (SО).

Свойства конуса:

• образующие конуса равны.

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета.

П ростейшие сечения конуса.

1. Осевое сечение конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением конуса является треугольник.

2. Сечение конуса плоскостью параллельной основанию. В этом случае сечением является круг, подобный и параллельный основанию.

Шар

Шар – это геометрическое тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Э та точка (О) называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.

Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности называется радиусом шара (OD, ОВ, ОА).

Диаметр шара – это отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара (АВ).

Свойства шара:

• радиусы шара равны;

• диаметры шара равны.

Шар можно рассматривать как тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра.

П ростейшие сечения шара

1. Сечение шара плоскостью проходящей через его центр. В этом случае сечением является большой круг.

2. Сечение шара плоскостью не проходящей через его центр. В этом случае сечением является круг.

10