2. Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вводится для пространства с бесконечным числом элементарных событий, каждое из которых интерпретируется как выбор наугад точки из некоторого множества евклидового пространства . Множество предполагается имеющим геометрическую форму и конечную меру .

О: Вероятностью события , состоящего в попадании выбранной наугад точки из измеримого множества в измеримое множество , называется .

Пример. Два человека договариваются о встрече на заданном промежутке времени . Человек, пришедший первым, ожидает в течение времени . Какова вероятность встречи?

Множество элементарных событий – квадрат , , где - время прихода 1-го, - 2-го. Событие состоит из элементарных событий,

Рис. 13.2.

н аходящихся в полосе между прямыми , (рис. 13.2), т.к. для осуществления встречи должно выполняться . Площадь полосы , площадь квадрата , тогда

.

3. Статистическое (частотное) определение вероятности

Пусть некоторый эксперимент повторяется раз, событие при этом наступило раз.

О: Относительной частотой появления события , наступившего раз при проведении эксперимента раз, называется .

Замечено, что при больших частота лишь слегка колеблется – это закон устойчивости частот.

О: Статистической вероятностью события называется , если число испытаний достаточно большое.

Например, при бросании монеты 24000 раз герб выпал 12012 раз (опыт К. Пирсона). Число близко к . При решении задачи о вероятности выпадения герба при бросании монеты формула (13.2) даёт .

Сложение и умножение вероятностей

Т: Если и - несовместные события

, (13.3)

в противном случае

. (13.4)

Формула (13.4) справедлива и для вероятности суммы несовместных событий.

Следствие. Вероятность противоположного событию события равна . Из (13.3) .

Примеры.

1. В урне 2 зелёных, 4 жёлтых, 7 красных, 10 белых шаров. Вынимают один шар. Найти вероятность того, что он не белый.

Решение. Пространство содержит 23 элементарных события. Случайное событие, состоящее в выборе цветного шара . Здесь - событие, состоящее в выборе зелёного шара, - жёлтого, - красного. Так как , , , по формуле (13.3) имеем .

2. Вероятность того, что день пасмурный . Найти вероятность того, что день ясный.

Решение. Событие , состоящее в том, что день ясный, противоположное событию (день пасмурный), т.е. .

О: Вероятность события в предположении, что произошло событие , называется условной вероятностью и обозначается . События и называются независимыми, если предположение о том, что произошло одно из них, не влияет на вероятность другого, т.е.

, . (13.5)

Т: Вероятность совместного наступления событий и вычисляется по формуле

(13.6)

Если события и независимы, то

. (13.7)

Эта формула справедлива и для вероятности произведения независимых событий.

Примеры.

1). Из урны, содержащей 3 белых и 7 чёрных шаров, вынимают два. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Решение. Событие - вынут белый шар, . Событие - вынут второй белый шар при условии, что произошло , , тогда вероятность того, что оба шара белые .

2. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего для первого станка , для второго , для третьего . Найти вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего.

Решение. По формуле (10.7) имеем .

Т: пусть случайные события , образуют полную группу событий. Тогда для любого случайного события справедлива формула

. (13.8)

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Пример. Имеется два ящика с шарами. В первом ящике два белых и один чёрный шар, во втором ящике один белый и четыре чёрных шара. Наугад выбираем ящик и вынимаем шар. Какова вероятность того, что он белый?

Решение. Пространство , где - выбор первого ящика, - второго, событие - выбор шара, тогда , , и по формуле (13.8) .

Из формулы и (13.8) получается так называемая формула Байеса

, . (13.9)

Формула трактуется следующим образом: имеется полная группа гипотез , …, , вероятности которых известны до опыта. Проводится опыт, в результате которого может наступить или не наступить событие . Если событие наступило, то (13.9) определяет вероятности гипотез после опыта.

Схема испытаний Бернулли

Пусть один и тот же опыт повторяется раз, испытания независимы, в результате каждого испытания может наступить или нет событие . Пусть - вероятность наступления , тогда . Такая схема испытаний называется схемой Бернулли. Найдём вероятность того, что событие произойдёт при испытаниях раз.

Пространство элементарных событий состоит из произведений событий или : , , . Событие , состоящее в том, что событие произойдёт при испытаниях раз включает те , в которых содержится раз, их . По формуле (13.7): , поэтому по (12.3) . Формула

(13.10)

называется формулой Бернулли.

Пример. Найти вероятность того, что четырехзначный номер первого встречного автомобиля содержит две цифры 5.

Решение. Так как , (число цифр в номере), , событие - данная цифра номера 5, - не 5, , , то .

При больших значениях , подсчёт проводят по приближённой формуле (локальная теорема Лапласа)

, , .

Если велико, а , , то применяют приближённую формулу Пуассона:

, . (13.11)

Последнюю формулу называют законом редких событий.