21. Дифференциальные уравнения l-го порядка. Основные определения, теорема существования и единственности. Пример .

F(x,y,y’)=0 (1)

Определение: Дифференциальное уравнение (1) – называется разрешенным относительно произведения, если его можно записать в виде y’=f(x,y) (2)

Пример: y’-y=0; y(x)=c*e^x-y’=c*e^x; y’=y

Начальное условие: y(x₀)=y₀ (3)

Задача Коши:{y’=f(x,y) (4)

y(x₀)=y₀}

Теорема существования и единственности: Если f(x,y) из (2) имеет частные производные и они непрерывны в некоторой области GcR², то для любых точек x₀,y₀ из области G существует единственное решение задачи (4)

????????

22.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример.

Y’=f(x)*g(y)-называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными вида y’=f(x,y)

Решение: y’=dy/dx ; dy/dx=f(x)*g(y) ||*dx(1/g(y)) => dy/g(y)=f(x)dx => ∫dy/g(y) {G(y)}= ∫f(x)dx {F(x)+C} далее вычисляем интеграл => G(y)-F(x)-C=0

Пример: y’=y=f(x){1}*g(y){y}

dy/dx=y ||dx/y

∫dy/y{ln|y|}=∫dx{x+C}  ln|y|=x+C

Далее потенцируем

e^ln|y|=e^x+c

|y|=e^x * e^c => e^x *C₁

y(x)=+/-C₁{=C’ ≠0 }*e^x

y(x)=C’* e^x

23.Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Пример.

y’=f(y/x); y/x=z(x) Найти z(x)

y=x*z(x) =>y’=z(x)+x*z’(x)

z(x) + x*z’(x) = f(z)  z’= (f(z)-z)/x

Пример: x*y’=y, y’=y/x; z=y/x

y=x*z(x) ~> z+x*z’=z  x*z’=0 

z’≡0  z(x) ≡C

y=x*z(x) => y(x)=C*x

24.Линейные дифференциальные уравнения l-го порядка. Пример. Уравнения в полных дифференциалах. Пример.

y’=P(x)y +Q(x)

Q(x) ≡0

y’=P(x)y – однородное линейное уравнение

y’=P(x)y - уравнениями с разделяющимися переменными  dy/dx= P(x)y ||dx/y y ≡0 dy/y= P(x)dx далее интегрируем

∫dy/y=∫P(x)dx =>ln|y|=∫P(x)dx+C

далее потенцируем: |y|=e^∫P(x)dx+C=e^∫P(x)dx *e^C{=C₁>0}

y= e^∫P(x)dx+/-C₁{=C’≠0 }=C’* e^∫P(x)dx=y(x)

Пример: y’=y+2 P(x)=1 Q(x)=2

y’=y  y(x)=c*e^x

Будем искать решение в виде y(x) = z(x)e^x

y’=z’e^x+z* e^x= z* e^x+2  z’e^x=2 =>

z’=2* e^-x=>z(x)= ∫ z’(x)dx= 2*( e^-x/(-1))+C=

-2 *e^-x+C=>y(x)=(-2* e^-x+C) e^x= -2+C* e^x

Уравнения в полных дифференциалах:

Дифференциальные уравнения y’=f(x,y) мб записаны в виде P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) т.к P(x,y)+Q(x,y) dy/dx=0  y’= - ((P(x,y))/(Q(x,y))) {=f(x,y)} y’=f(x,y)  dy/dx=f(x,y)  1dy – f(x,y)dx=0

Определение: Уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует непрерывно дифференцируемая функция Q(x,y),такая что dU=Pdx+Qdy,т.е. U(x,y) - не является потенциалом поля с координатами (P (x,y) Q(x,y)) Пример ?????