10. Віддаль від точки до прямої

Рис.

Нехай на площині хOу задана пряма Ах+Ву+С=0 і точка М₀(х₀,у₀). Знайти віддаль від точки М₀ до прямої. Позначимо через М₁(х₁,у₁) основу перпендикуляра до прямої, проведеного з точки М₀. Шукана віддаль d дорівнює ; де

Р озглянемо скалярний добуток векторів , де :

Так як вектори і колінеарні, то або . І тому

Звідки (23)

З другого боку . Але точка М₁ лежить на прямій, і вона задовольняє рівняння прямої Звідси Враховуючи це, одержимо

. (24)

Порівнюючи формули (23) і (24) маємо . Звідси . Оскільки , то

. (24)

Приклад. Знайти площу трикутника з вершинами А(3;1;2), B(2;2;3) i C(4;3;2).

Розв’язання. Площа трикутника АВС=1/2 S_АВС або половина площі паралелограма побудованого на векторах і , тобто половині довжини векторного добутку цих векторів

S_ABC= , де , .

Оскільки , то , звідки .

8