- •1.Векторы. Основные операции над векторами.
- •4.Простейшие задачи на плоскости.
- •6. Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.
- •2.Базис. Разложение вектора по базису.
- •20.Ранг матрицы.
- •3.Скалярное произведение 2-х векторов и его свойства.
- •5.Различные уравнения прямой.
- •1.Общее уравнение прямой:
- •2.Каноническое уравнение прямой:
- •9.Гипербола.
- •7.Общее уравнение кривой. Кривые второго порядка.
- •3)Если:
- •8.Эллипс.
- •15.Метод Крамера.
- •10.Парабола.
- •11.Уравнение плоскости.
- •14.Свойства определителей.
- •18.Матричная запись системы. Применение
- •19.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •21.Теорема Кронекера- Капелли. Решение неопределенных
6. Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.
Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом y= и
Здесь и - углы наклона прямых L1 и L2 к оси Ox, а - один из углов между этими прямыми. Из рисунка видно, что .
Отсюда
.
Т.е. угол между прямыми L1 и L2 определяется по формуле:
Прямые параллельны, если tg = 0, т.е. k1 = k2 .
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 получим из формулы ,т.к. tg не существует при k1 k2 + 1 = 0.
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 запишем в виде:
.
2.Базис. Разложение вектора по базису.
Линейное пространство R наз-ся n мерным, если сущ-ет система n линейно независимых векторов, а любые n+1векторы образуют линейно зависимую систему. Совокупность n линейно независимых векторов n мерного пространства наз-ся базисом. Теорема. Каждый линейного пространства можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса.
Доказательство: Представим, что имеет вид х = Тогда , но при этом Е Тогда по определению система x является линейно зависимой.Докажем единственность разложения: (от противного)Предположим, что это не так. Допустим, Е х=
x=
0=
Т.к. векторы образуют базис, то они ≠0, ≠0, i= i= Поскольку это базис, все коэффициенты равны 0.
20.Ранг матрицы.
Рангом матрицы А ( r(A) или rang(A)) наз-ся максимальный порядок миноров данной матрицы, отличных от 0.Минор, который определяет ранг матрицы, наз-ся базисным минором.
А rg(A)=2
Свойства ранга матрицы:
1.r(A) ≤ min(m;n)
2.r(A)=0
3.r(A) не изменится, если у матрицы вычеркнуть нулевые строчки или столбцы.
4.r(A) не изменится при транспонировании матрицы.
5.Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.
3.Скалярное произведение 2-х векторов и его свойства.
Пусть даны два вектора и , угол между, которыми равен .
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин
этих векторов на косинус угла между ними: .
Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с
определением равно нулю: ( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .
Скалярное произведение двух векторов:
- положительно, если угол между векторами острый ;
- отрицательно, если угол между векторами тупой .
Скалярное произведение ( a , a ), равное | a | 2, называется скалярным квадратом.
Рассмотрим свойства скалярного произведения.
1 ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон )
Доказательство:
2. .
Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между
векторами и совпадает с углом между векторами и , .
Поэтому . Откуда
Аналогично доказывается и равенство .
3. . ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон )
Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций
вектора на ось, будем иметь
4.Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда,
когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):
Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух
векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в
координатной форме. Пусть даны два вектора и .
Их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
.Длина (модуль) вектора a = ( x, y, z ) равна:
Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,
получаем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: