- •3. Границы числовых множеств. Теорема о гранях.
- •4. Понятия последовательности, её предела, сходимости и расходимости.
- •5. Общие свойства пределов последовательностей.
- •6. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
- •9.Предельн перех в ариф опер-ях для посл-ей.
- •10. Неопределённые выражения
- •15. Лемма о вложенных отрезках
- •17. Критерий Коши для числовой последовательности. Фундаментальные последовательности.
- •18. Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.
- •19. Существование верхнего и нижнего пределов последовательности.
- •20. Нижний и верхний пределы и сходим-ти послед-ти.
- •21. Отображения и их основные типы
- •22. Обратимые и обратные функции. Теорема о существовании обратной для монотонной функции.
- •23. Разл. Формы опред предела функции по Коши.
- •24. Односторонние пределы функции.
- •25. Эквивалентность определений функций по Гейне и по Коши.
- •26. Общие свойства пределов функций. Предельный переход и арифметические операции.
- •27. Неравенства и предельный переход для ф-ий.
- •28. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •29. Теорема о пределе композиции функций.
- •32. Эквивалентность функций.
- •33. Пределы монотонных функций. Верхний и нижний пределы функции.
- •34. Некоторые замечательные пределы для функций.
- •35. Критерий Коши существования предела функции.
- •36. Различные формы определения непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •37. Локальные свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности композиции функций.
- •38. Теоремы о существовании корня и о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •39. 1Ая теор Вейерштрасса об огранич непрерыв ф-ии.
- •40.2Ая теор Вейерштрасса об экстримал значен непрерыв ф-ии.
- •41. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора и следствие из неё.
- •42. Определение и непрерывность степенной функции с иррациональным показателем. Теорема о непрерывности элементарной функции.
- •43. Определение и условия дифференцируемости функции в точке.
- •44. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •45. Односторонние и бесконечные производные.
- •46. Дифференцирование арифметической комбинации функций.
- •47. Производная композиции и обратной функции.
- •48. Вычисление табличных производных.
- •49. Гиперболические функции и их производные.
- •50. Производные высших порядков.
- •51. Формула Лейбница
- •52. Дифференциалы высших порядков.
- •59. Локальная формула Тейлора. Единственность.
- •67. Аналитические условия выпуклости функции.
- •68. Необходимое условие перегиба функции.
- •69. Достаточные условия перегиба.
- •70. Асимптоты графика функции. Порядок построения графика функции
1.Множества и операции над ними.
Множество – совокупность объектов(элементов)
Способы задания: 1. Перечисление элементов,
2. определение по св-ву(четность и т.п)
3. задание мн-ва с помощью другого мн-ва
ОП. Если все элементы мн-ва А принадлежат мн-ву
В, то А – под-мнво В.
ОП. А и В называются равными, если каждое из них Содержится в другом.
ОП. Если А принадлежит В и А не равно В, то А –
собственное подмн-во В
ОП. Если а принадлежит В, то дополнение А до В
Наз. Мн-во А’=В\А
2. Аксиоматика множества действительных чисел.
Мн-во R наз. Мн-вом действительных(веществ.)
Чисел, а его эл-ты действ. Или веществ. Числами
Если выполнена след. Сист условий, наз.
Аксиоматикой действ. Чисел.
Аксиома сложения: 1. Х+у=у+х(коммутативность)
2. х+(у+в)=(х+у)+в (ассоциативность)
3. существование нейтрального эл-та (ноль)
4. существование обратного эл-та х+(-х)=0
Аксиома умножения:1. ху=ух(коммутативность)
2. х(ув)=(ху)в (ассоциативность)
3. сущ. Нейтр эл-та (единица)
4. сущ. Обратного эл-та (1/х*х=1)
Аксиома связи сложения и умножения:
Х(у+в)=ху+хв (дистрибутивность)
Аксиома порядка:
1.(Х <=у) и (y<=х)
Х=у
2. х меньше у и у меньше в, след. Х меньше в.
Аксиома связи порядка и операции слож. И умнож.
Если х<y то, x+b<y+b, xb<yb
Аксиома полноты:
Для всех х из Х , у из У при х меньше или равно у,
Сущ в из R, что х< в<y
3. Границы числовых множеств. Теорема о гранях.
Числовое мн-во – любое подмн-во из R
ОП. Пусть Е не пустое числ. Мн-во, тогда х’
Его макс эл-т., если для всех х из Е: х<=x’,
Минимальный –наоборот.
ОП. Числовое мн-во Е наз. Ограниченным сверху,
Если для него сущ. Хотя бы 1 число М из R, что
Для всех х из Е: х<=M, тогда число М – верхн.
Граница мн-ва Е.
ОП. Супремиум – наименьшая из верхних границ.
ОП. Инфимум – наибольшая из нижних границ.
Теорема( о гранях): Всякое непустое, ограниченное
Сверху(снизу) мн-во действ. Чисел имеет единств.
Конечную верхнюю(нижнюю) грань.
4. Понятия последовательности, её предела, сходимости и расходимости.
Последовательностью эл-тов мн-ва Х называется
Отображение f: N => X.
ОП. Послед., у которой все эл-ты совпадают, наз.
Постоянной.
ОП. послед. наз сходящейся если для нее сущ.
Такое число а, что для любого Эпс. > 0 можно
Указать nЭпс начиная с которого выполн.
Нер-ство: |Хn -а|<Эпс. При n>= nЭпс
В терминах окрестн :
Для любой U(a) сущ nu, что для всех n>= nu:
Xn принадлежит U(a).
ОП. Если послед-ть НЕ имеет в качестве
Предела какое-либо число- Расходящаяся.
5. Общие свойства пределов последовательностей.
ОП. Посл-ть наз. Ограниченной, если огранич.
Мн-во ее членов.
Теорема: 1. Любая окрестность предела содерж.
Все ее члены, кроме конечного их числа.
2. сходящ послед. Ограничена
3. послед. Может иметь лишь 1 предел.
4. Предел постоянных, если Хn=а для всех n, то
Lim(Xn) = а, n стремиться к + бесконечности.
6. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
Теорема: lim(Xn)=a, lim(Yn)=b, тогда если a<b,
То начиная с некотор. Элемента Xn< Yn
Или если Xn<Yn то и a<b
Теорема( о сжатой переменной):Пусть начиная
С некоторого элемента Xn<Yn<Zn и lim(Xn)=
=lim(Zn)=a, то сущ. Lim(Yn)=a.
7-8.Бесконечно малые послед-ти и их свойства.
Бесконечно большие последовательности и их свойства.
ОП. Посл-ть, предел которой равен нулю, наз.
Бесконечно малой.
Теорема: 1. Сумма двух б.м.п=б.м.п
2. б.м.п умножить на огранич. Послед = б.м.п
3. б.м.п умножить на б.м.п. = б.м.п.
Теорема: Для того, чтобы посл-ть сходилась к
Числу а, необходимо и достаточно, чтобы
Xn=a+ Bn , где Bn – б.м.п.
Посл-ть наз б.б.п, если выполнено условие:
Для всех М>0 сущ. nM, что для всех n>= nM:
|Xn|>M.
Теорема.(о связи б.м.п и б.б.п):
Если Хn – б.м.п, то 1/Xn – б.б.п.
9.Предельн перех в ариф опер-ях для посл-ей.
Теорема. Предел суммы или произведения
Послед-тей равен сумме или произведению
Их пределов.
Лемма. Если lim(Yn)=b и не равен нулю, то
Начиная с некоторого номера определена
Послед-ть, которая явл. Ограниченной.
Теорема. Пусть сущ. Lim(Xn)=a при n->+беск.
И lim(Yn)=b при n->+беск. При чем Yn не
Равно нулю для всех n, тогда послед-ть
(Xn / Yn) сходится и предел частного
Равен частному пределов.