- •Содержание
- •Лекция №1. Информация, сообщения, сигналы
- •Общее понятия сигнала
- •Классификация сигналов
- •Случайные сигналы
- •Виды детерминированных сигналов
- •Аналоговые и цифровые сигналы
- •Лекция №2. Системы, каналы и сети связи
- •2.1. Общие понятия
- •Классификация каналов связи
- •Физическая природа передаваемого сигнала в канале связи
- •Помехи и искажения в канале
- •Лекция №3. Понятие об излучении и распространении радиоволн
- •3.1. Элементарные представления
- •4.1. Кодирование. Общие понятия
- •4.2. Модуляция. Общие понятия
- •4.3. Демодуляция и декодирование
- •Лекция №5. Необходимые математические представления о сигнале
- •5.1. Математическое представление сигнала
- •3.3 Скалярное произведение и расстояние для двумерных векторов
- •3.5 Переход от векторного пространства к пространству функций
- •3.6. Система ортонормированных функций
- •Лекция №6. Разложение в ряд Фурье
- •6.1. Общие описания
- •6.2.Четная и нечетная функция
- •6.3. Разложение при периоде не равном 2π
- •6.4. Разложение в комплексный ряд Фурье
3.5 Переход от векторного пространства к пространству функций
Мы уже знаем, как выразить скалярное произведение и расстояние между векторами в двумерном пространстве. А как быть в случае пространства большего числа измерений. Рассмотрим, например, вектор трехмерного пространства:
f =(f1, f2, f3)
Известно, что его норму или расстояние от исходной точки до точки
(f1,f2,f3) можно выразить как:
(3.10)
Обобщая выражение (3.10), можно предположить, что норма вектора
f =( f1,f2,……,fN) N- мерного пространства определяется как:
(3.11)
А как же будет выглядеть норма вектора в случае пространства бесконечной размерности, иначе говоря, пространства функций. Норма функции ʃ(t) в этом случае является величиной функции. Каким же образом её определять? Это становится понятным, если обратиться к формуле, которая часто используется применительно к физическим явлениям(см.памятку ниже).
Норма функции f(t) (а≤t≤b) определяется соотношением:
Как обобщение N-векторной нормы. Это определение, в общем, нас устраивает. Но чем больше интервал в этой формуле, тем больше значение нормы. Поэтому удобнее пронормировать норму функции f(t) относительно длины интервала
(3.12)
3.6. Система ортонормированных функций
Мы уже знаем, как выразить вектор f двумерного пространства через ортонормированный базис векторов (V1,V2):
f = С1v1+C2v2
Таким же образом через ортонормированный базис можно выразить и в N-мерном пространстве(На рис.3.9 показан ортонормированный вектор в трехмерном пространстве).
Ортонормированный базис- это множество взаимно перпендикулярных единичных векторов. Множество векторов (Vk,k=1,2,….N) в N-мерном пространстве, где:
(т.е. Vm и Vn взаимно перпендикулярны и являются единичными), называется ортонормированным базисом N-мерного пространства. Для их выражения используется символ Кронекера δmn:
И в упрощённом виде записывается следующим образом:
(Vm, Vn)=δmn
Если все векторы взаимно перпендикулярны, то ни один из них нельзя выразить через другие векторы. Иначе, говоря, они независимы.
Используя ортонормированный базис векторов, можно представить вектор в виде линейной комбинации базисных векторов, можно представить вектор в виде линейной комбинации базисных векторов. Иначе говоря, N-мерный вектор можно представить в виде:
Шпаргалка
Формулы разложения произведения тригонометрических функций на сумму
Из вышеизложенных результатов ясно, что множество функций образуют систему ортогональных функций. Однако норма каждой функции:
Шпаргалка
Формулы половинного угла
Обобщение:
Если для непрерывного сигнала f(t) произведена выборка из N значений, то этот сигнал можно представить в виде N-мерного вектора, который соответствует одной точке N-мерного пространства.
Величина сигнала выражается нормой вектора, а отличие двух сигналов - расстоянием между векторами. Скалярное произведение векторов - это произведение проекции одного вектора на длину другого. Коэффициент корреляции выражает угол между векторами, а также степень похожести сигналов. Чем больше по абсолютной величине коэффициент корреляции, тем более похожи сигналы. Если он равен 0, то векторы, отображающие сигналы, взаимно перпендикулярны.