Операции над векторами

Пусть в линейном пространстве выбран базис   и в нём представлены вектора вектора  ,  , тогда суммой векторов   будет называется следующий вектор:  . Пусть есть число λ, тогда произведением вектора   на число λ будет называться следующий вектор:  Два ненулевых вектора   и   называются коллинеарными, если  .

10. Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Свойства скалярного произведения:

11. Вектор с координатами (-b,a) или (b,-a) называется направляющим вектором. Уравнения прямой на плоскости

Способы задания прямой:  или  .

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A,B)называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.

При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде :

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось Oy в точке   и образующая угол   с положительным направлением оси Ox:

12. ?????

13. Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек MЕвклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

| F₁M | + | F₂M | = 2a, причем | F₁F₂ | < 2a.

Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от др.-греч. βαλειν — «бросать», ὑπερ — «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

причем | F₁F₂ | > 2a > 0.

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемойдиректрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если   Могут возникать следующие варианты:

Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если 

эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;

частный случай эллипса — окружность — при условии I² = 4D или a₁₁ = a₂₂,a₁₂ = 0;

мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии ΔI > 0;

гипербола — при условии D < 0;

Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0

парабола — при условии D = 0.

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

• вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

• пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

• вырожденная парабола — при условии D = 0:

  • пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

  • одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

  • пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.

14. Линейное, или векторное пространство   над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества   ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый   и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу   и любому элементу   ставится в соответствие единственный элемент из  , обозначаемый  .