- •Линейная алгебра
- •Понятие матрицы, ее порядка. Квадратная, прямоугольная, треугольная, единичная матрицы.
- •5) Обратная матрица. Теоремы о существовании и еденственности (без доказательства). Алгоритм получения обратной матрицы.
- •6) Понятие ранга матрицы. Элементарные преобразования. Ранг матрицы трапециевидной формы.
- •7) Система линейных уравнений, ее решение. Системы однородные, неоднородные, совместные, несовместные, определенные, не определенные.
- •12) Однородные системы линейных уравнений. Признаки существования ненулевого решения.
- •Векторная алгебра.
- •1.Понятие вектора, его длины, орта, равных векторов, коллинеарных и компланарных векторов.
- •2.Линейные операции над векторами. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые вектора.
- •3)Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии коллинеарности векторов.
- •4)Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии компланарности векторов.
- •5)Проекция вектора на ось. Перечислить свойства.
- •7)Стандартный базис и прямоугольная декартова система координат в пространстве. Координаты вектора. Сформулировать теорему о разложении вектора по базису в прстранстве.
- •9.Скалярное произведение векторов,Перечислить свойства(Без доказательств)Физический смысл
- •10.)Доказать любые 3 свойства скалярного произведения.
- •12.)Векторное произведение векторов.Его геометрический и механический смысл.Перечислить свойства,Векторное произведение в координатной форме.
- •13)Смешанное произведение векторов.Перечислить свойства.
- •14)Смешанное произведение в координатной форме(вывод)
- •8.Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические, проходящей через 2 точки.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между ними.
- •12.Понятие гиперболы. Её каноническое уравнение. Асимптоты. Построение гиперболы. Эксцентриситет.
- •18. Основные поверхности 2-го порядка: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, конус (уравнения и построение).
Линейная алгебра
Понятие матрицы, ее порядка. Квадратная, прямоугольная, треугольная, единичная матрицы.
Опр. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида a11 а12 … а1n
а21 а22 … а2n = А= (аij)
аm1 аm2 … аmn
аij – это элемент матрицы стоящей на пересечении i-й строки и j-того столбца.
Опр. Матрица называется прямоугольной порядка m*n если число строк m не равно числу столбцов n.
Матрица называется квадратной порядка n если m=n.
Матрица называется треугольной если все элементы стоящие под или над главной диагональю = 0.
Матрица у которой на главной диагонали стоят единицы а все остальные элементы =0 называется единичной и обозначается E=E .
2) Операции над матрицами: сумма, произведение, умножение матрицы на число.
Суммой двух матриц А(aij), B(bij) одного порядка называется матрица С=(cij) такого же порядка у которой каждый элемент cij=aij+bij.
Произведением матрицы A=(aij) на число λ называется матрица C(cij) такого же порядка каждый элемент которой равен cij=λcij.
Произведение матрицы A=(aij) порядка m*k на матрицу B=(bij) порядка k*m называется матрица C=(cij) порядка m*n , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элемента i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В т.е.
Cij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+ain*bnj
Замечание 1: Количество столбцов 1 матрицы должно быть равно кол-ву строк второй матрицы, иначе умножение не определено.
Замечание2: Умножение матриц в общем случае не перестановочно. АВ не равно ВА
3) Определители 2-го, 3-го, n-го порядка. Правило треугольников. Определитель треугольной матрицы.
Опр. Определителем 2-го порядка соответствующего матрице
А= а11 а12 называется число обозначаемое одним из
а21 а22
Следующих символов = |А| = det A= a11 a12 и
a21 a22
определенное равенством а11 а12
а21 а22 =а11*а22-а21*а12
Опр. Определителем 3-го порядка соответствующим матрице
а11 а12 а13
А= а21 а22 а23 называется число число одним из следующих
а31 а32 а33 a11 a12 a13
символов = А = det A = a21 a22 a23 и определяется
a31 a32 a33
равенством a11 a12 a13
a21 a22 a23 = а11*а22*а33+а12*а23*а31+
a31 a32 a33
+а21*а23*а13 - а31*а22*а13 – а21*а12*а33 – а32*а23*а11
Этот способ определителя называется правилом треугольников
Определитель n-го порядка: Введем определитель 4-го порядка как число получающееся по следующему правилу.
Замечание 1: Формула разложения определителя по 1-й строке аналогично можно ввести определитель более высокого порядка. Все свойства определителей остаются справедливыми.
Замечание2: С помощью свойств любой определитель можно привести к треугольному виду определитель треугольного вида равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
4) Перечислить все свойства определителей. Доказать любое из них.
Величина определителя не изменяется при транспонировании .
Перестановка 2-х строк (2-х столбцов) равносильна умножению определителя на -1.
Если определитель имеет 2-е одинаковые строки (2-а одинаковых столбца), то он равен 0.
Умножение всех элементов одной строки (одного столбца) определителя на число лямбда равносильно умножению всего определителя на это число.
Если определитель содержит 0-ю строку (0-й столбец) то он равен 0. (Для док-ва расписать по правилу треугольников).
Если 2-е строки (2-а столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен 0.
Если определитель содержит 2-е одинаковые строки (2-а одинаковых) столбца то он равен 0.
Если каждый элемент некоторой строки (некоторого столбца) определителя представляет собой сумму 2-х слагаемых то определитель то определитель может быть представлен в виде суммы 2-х определителей один из которых содержит в этой строке (столбце) первые из упомянутых слагаемых, другой вторые, элементы стоящие на остальных местах во всех 3-х определителях одинаковы.
Величина определителя не изменится если к элементам некоторой строки (некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (др. столбца) умноженные на любое число
Минором Mij элемента aij определителя называется определитель полученный из данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца . Определение: Алгиброическим дополнением Аij к элементу aij определителя называется минором Mij умноженной на (-1) в степени i+j. Aij=(-1) степень ij * Mij
Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (любого столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Опр: Это свойство называется разложением определителя по строке или столбцу.
Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна 0.