2 Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты

Под сложением колебаний понимают нахождение результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая:

·       сложение колебаний одинакового направления;

·       сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим первый случай – сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты. Для сложения колебаний удобно применять метод векторных диаграмм. Допустим, что требуется сложить два гармонических колебания:

 и  .                 (6.4.1)

С ложим соответствующие им векторы   и   для момента времени t. Проекция результирующего вектора   на ось Оx равна сумме проекций складываемых векторов  . Вектор   представляет собой векторное изображение результирующего колебания (см. рис.6.4.1).

Этот вектор в плоскости диаграммы вращается с той же частотой  , с которой колеблются складываемые осциллирующие функцииx₁(t) и x₂(t). Результирующая амплитуда   и начальная фаза   находятся геометрическим построением для момента времени t=0:

                                                                                                                  (6.4.2)

.                                                     (6.4.3)

Выделим три характерных случая.

       Если разность начальных фаз   обоих колебаний равна 0 или 2n, где n=1,2,…. то колебания находятся в фазе и амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний,  .

       Если разность фаз  , т.е. оба колебания находятся в противофазе, то   (при   наблюдается полное гашение колебаний).

       Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. В этом случае результирующее колебание не будет гармоническим и описывается другими более сложными зависимостями.

3 Сложение двух гармонических колебаний с неодинаковыми частотами. (Биения)

Если частоты колебаний   и  , неодинаковы, векторы А1 и А2 будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор А пульсирует по величине и вращается с не постоянной скоростью. Результирующим движение уже будет не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.

Биения

Биения возникают при сложении колебаний, отличающихся по частоте на небольшую величину, и проявляются в появлении более низкочастотных изменений амплитуды суммарного сигнала, по сравнению с исходными частотами. Амплитуда колебаний при этом меняется от минимального значения равного разности исходных амплитуд до максимального значения, равного сумме амплитуд исходных колебаний, и вновь до минимального значения. Периодом биений является время повторения этого процесса (Рис 1.3.).

Рисунок 1.3. Биения

За счет того, что вращение векторов А1 и А2 происходит с близкими, но отличающимися скоростями, разность фаз этих двух колебаний будет не постоянна, а медленно, то увеличиваться, то уменьшаться. Колебания будут находиться, то в фазе, то в противофазе, в результате амплитуда суммарного сигнала тоже будет меняться. Время за которое разность фаз измениться на 2π и будет периодом биений Тб (Тб = 2π/Δω). Δω -разность круговых частот исходных колебаний. Биения применяют при обнаружении металлических предметов мин, оружия и т.д. Для этого используют два одинаковых высокочастотных колебательных контура, имеющих одинаковую частоту. Если вблизи одного из них появится металлический предмет, частота этого контура немного изменится. При сложении сигналов от этих двух контуров, в суммарном сигнале возникнет низкочастотная составляющая. Ее можно выделить и подать в наушники, в которых возникнут звуковые колебания, сигнализирующие о наличии металлического предмета.

4 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний на примере механических колебаний. Допустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси Оx, так и вдоль перпендикулярной к ней оси Оy. Если возбудить оба колебания, материальная точка будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний.

Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна 0. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

 и  ,                                     (6.5.1)

 – разность начальных фаз обоих колебаний. Выражения (6.5.1) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (6.5.1) время. Из первого уравнения (6.5.1) следует, что

,                                                                                    (6.5.2)

поэтому

.                                                                        (6.5.3)

Представим далее косинус во втором уравнении (6.5.1) по формуле для косинуса суммы, подставляя при этом вместо   и   их значения из соотношений (6.5.2) и (6.5.3). В результате получим

.                                                   (6.5.4)

У равнение (6.5.4) это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей Ox и Oy. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд A и B и разности фаз  . Определим форму траектории для некоторых частных случаев.

1. Разность фаз равна нулю. В этом случае уравнение (6.5.4) примет вид:

,                                 (6.5.5)

откуда получается уравнение прямой(см. рис. 6.5.1):

.                                           (6.5.6)

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой   и амплитудой равной  .

2 . Разность фаз равна  . В этом случае уравнение (6.5.4) примет вид:

.                                 (6.5.7)

О ткуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (см. рис. 6.5.2):

.                                        (6.5.8)

Д вижения, описываемые формулами (6.5.6) и (6.5.8) называют линейно поляризованными колебаниями.

3. При разности фаз равной  /2 уравнение (6.5.4) переходит в следующее

,                                   (6.5.9)

т.е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний A и B (см. рис 6.5.3). В этом случае говорят об эллиптически поляризованных колебаниях. При равенстве амплитуд (A=B) эллипс превращается в окружность. Колебания, описываемые уравнением (6.5.9) при (A=B) называются поляризованными по кругу или циркулярно поляризованными. Случаи разности фаз +/2 и /2 отличаются направлением движения по эллипсу или по окружности. В первом случае тело движется по часовой стрелке, во втором – против часовой стрелки.

5 Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

, где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

— период колебаний пружинного маятника.

6 Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

.

Период малых колебаний физического маятника

Если амплитуда колебаний   мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

Теорема Гюйгенса

Формулировка

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Доказательство

Вычислим приведенную длину для нового маятника:

.

7 Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести сускорением свободного падения g равен

и не зависит^[1] от амплитуды и массы маятника.

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах;  , гдеL ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

.