Вопрос 22

Производная функции y = f(x) есть также функция от Х и называется производной первого порядка.

Если функция диффуренцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается (или . Итак, .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается (или .

Производной n – го порядка ( или n – й производной) называется производная от производной (n – 1 ) порядка:

Производные порядка выше первого называют производными высших порядков.

Начиная с производной четвёртого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках

( – производная пятого порядка).

Вопрос 21

Дифференциал, его геометрический смысл и приложения

Возьмем две точки: x и x+△x из промежутка задания функции f(x) и найдем приращение

ф-ции . если это приращение можно представить в виде: △f(x)=A(x)△x+ o(△) (△x→0)

то говорят, что ф-ция дифференцируема в точке х, а величину А(х)△х называют дифференциалом ф-ции и обозначают df(x).

Ф-ция f(x) имеет дифференциал, когда она имеет производную. Значит df(x)=f’(x)△x.

А так же: df(x)=f’(x)dx и f’(x)=

Дифференциал ф-ции равен приращению, которое получает ордината касательной при переходе от точки х к точке х+dx.

Замена приращения ф-ции дифференциалом означает замену с достаточно высокой степенью точности малого отрезка кривой малым отрезком прямой линии.

Такая замена приводит к очень простой связи приращения ф-ции с приращением аргумента: приращение ф-ции оказывается прямо пропорциональным приращению аргумента. Это позволяет решить огромное число задач, кажущихся неразрешимыми

Итак, если x является независимой переменной, то дифференциал функции y=f(x) можно

записать так: dy=f’(x)dx.

Покажем, что эта форма сохраняется и в случае, если x является не независимой

переменной, а функцией. Действительно, пусть y=f(x) и x= (t), то есть y – сложная

функция от t: y=f[ (t)]. Тогда, dy=y’_tdt

По правилу дифференцирования сложной функции: y’_t=y’_x*x’_t. .Отсюда dy=y’_x*x’_tdt=y’_xdx=f’(x)dx.

Этим мы доказали следующее:

Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(x), для которой x= (t), имеет такой же вид,

dy=f’(x)dx, как и в том случае, когда аргумент x является независимой переменной. Это

свойство называется – инвариантность формы дифференциала.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение функции y = f(x) в точке Х можно представить в виде у = f’(x)* + , где а при , или у = dy + . Отбрасывая бесконечно малую * более высокого порядка, чем , получаем приближённое равенство

у , (1)

причём это равенство тем точнее, чем меньше .

Это равенство позволяет с большой точнойстью вычислить приближённо приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (1) широко применяется в вычислительной практике.