- •1). Теорема о «сжатой переменной» для последовательностей.
- •2). Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
- •3). Лемма о вложенных отрезках.
- •4). Критерий Коши для последовательностей.
- •5). Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши.
- •6). Теорема о существовании корня непрерывной функции.
- •9). Теорема Кантора.
- •13). Теорема Лагранжа о конечных приращениях.
- •10). Теорема о производной композиции функций.
- •11). Теорема о производной обратной функции.
- •12)Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции (теорема Ферма).
- •14)Правило Лопиталя.
- •15. Лемма о вложенных отрезках.
6). Теорема о существовании корня непрерывной функции.
Е сли функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует по крайней мере один корень уравнения.
7). 1-ая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.
8). 2-ая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.
9). Теорема Кантора.
13). Теорема Лагранжа о конечных приращениях.
Теор. Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке[a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка , что
.
Док-во: Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю:
что и требовалось доказать.
10). Теорема о производной композиции функций.
11). Теорема о производной обратной функции.
Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g'(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную , т.е. справедлива формула .
Док-во:Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x)непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.
Покажем, что .
Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .
Следовательно,
,
что и требовалось доказать.
12)Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции (теорема Ферма).
Теорема (Ферма): Если функция f во внутренней точке x0∈Д имеет локальный экстремум и дифференцируема в ней, то f′(x0)=0.
Доказательство: Предположим для определенности, что x0 - точка локального максимума, то есть для всех точек x из некоторой окрестности будет справедливо .
Тогда
,
в то время как
.
Поскольку f(x) дифференцируема в x0, то левая и правая производные в этой точке совпадают между собой и значением производной:
,
а это возможно только в случае .
14)Правило Лопиталя.
Теорема:
Условия: 1. или ;
2. и дифференцируемы в проколотой окрестности a;
3. в проколотой окрестности a;
4.существует ,
тогда существует .
Пределы также могут быть односторонними.
Доказательство
Отношение бесконечно малых
Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида (0/0).
Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку [a,x] теорему Коши. По этой теореме получим:
,
но f(a) = g(a) = 0, поэтому .
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:
для конечного предела и
для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
Отношение бесконечно больших
Докажем теорему для неопределённостей вида .
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:
.
З афиксируем t из отрезка и применим теорему Коши ко всем x из отрезка [a,t]:
, что можно привести к следующему виду:
.
Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение ε, что и в определении для α:
.
П олучили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и . По любому данному ε можно найти такое ε1, чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше ε, значит, предел отношения функций действительно равен A.
Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
.
В определении β будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда
15)Теорема о представлении функции локальной формулой Тейлора.
Если функция f(x) (n-1)-раз дифференцируема в окрестности U=(x0-a,x0+a) точки x0 и существует f(n)(x0), то имеет место равенство
.
Док-во: Для краткости будем обозначать R(x)=Rn(x)
(10)
(11)
…
(1m)
…
(1n-1)
f(n-1)(x) дифференцируема в точке x0, поэтому
откуда
По правилу Лопиталя
16). Достаточное условие экстремума в терминах 1-ой производной.
17). Условие выпуклости функции через 2-ую производную.
18). Теорема о существовании наклонных асимптот.
Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела
limx® +Ґf(x)/x = k, limx® +Ґ(f(x)-kx) = b.
Доказательство.
Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид
f(x) = kx+b+a(x),
тогда
limx® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,
limx® +Ґ(f(x)-kx) = limx® +Ґ(b+a(x)) = b.
Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.
1. Множества и операции над ними.
2. Аксиоматика множества действительных чисел.
3. Границы числовых множеств. Теорема о гранях.
4. Понятия последовательности, её предела, сходимости и расходимости.
5. Общие свойства пределов последовательностей.
6. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
7. Бесконечно малые последовательности и их свойства.
8. Бесконечно большие последовательности и их свойства.
9. Предельный переход в арифметических операциях для последовательностей.
10. Неопределенные выражения.
11. Теорема о пределе монотонной последовательности.
12. Число е.
13. Нахождение некоторых стандартных пределов.
14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. О – символика.