§6. Умножение прямоугольных матриц

Пусть А и В  прямоугольные матрицы, А размера sn и В размера tm.

Правило умножения, введенное для квадратных матриц, будет верно и для прямоугольных, если n=t, то есть если число столбцов в левом сомножителе совпадает с числом строк в правом сомножителе. Матрица С=АВ будет иметь s строк и m столбцов.

Пример

1)

2)

Так же, как при умножении квадратных матриц, элемент c_ij , стоящий на пересечении i строки и j столбца матрицы С, получается как сумма всех произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы j столбца матрицы В. Закон ассоциативности справедлив и для умножения прямоугольных матриц.

Правило Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными, причем определитель системы отличен от 0.

Перепишем эту систему в матричной форме, если

тогда систему (1) можно записать в матричном виде, то есть

AX=B (2)

Так как матрица А невырожденная, тогда для нее существует обратная. Умножив обе части уравнения (2) на А^-1, получим

A^-1(AX)=A^-1B ^-1^-1  ^-1 (3)

Покажем, что Х - решение уравнения (2)

A(A^-1B)= (AA^-1)B=ЕВ=В  

Так как для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная, то решение системы уравнений (1), записанной в матричной форме (2), однозначно определяется формулой (3). Любой элемент матрицы столбца, стоящей в правой части формулы (3), имеет вид

Получим формулы Крамера в общем виде, где

то есть определитель, полученный из  заменой j столбца столбцом свободных членов.

Пример. Решить систему уравнений

Запишем в матричном виде AX=B, где

; ;

Найдем определитель матрицы А

=-1; =-1; =-1; =1;

=4; =5; =-6; =3;

=3; =-4;

А=

Х₁=1; Х₂=-1; Х₃=2

Решим ту же систему по формуле Крамера. =-1

₁= =-1; ₂ = =1; _ =-2

x₁= =1; x₂= =-1; x₃= =2.

Упражнения

1. Вычислить определители:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

2. Решить матричные уравнения

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e)

3. Решить системы уравнений по формулам Крамера

a) ; b)

Глава II. Системы линейных уравнений

§1. n-мерное арифметическое пространство

Для построения общей теории систем линейных уравнений мы будем использовать новое понятие  многомерного векторного пространства.

Определение. Упорядоченная система n чисел a=(a₁,a₂,...,a_n) называется n-мерным вектором, a_j R  координаты вектора.

Определение. Два вектора  и =(b₁,b₂,...,b_n) будут считаться равными, если a_i=b_i i=1,2,...,n

Примеры: 1) множество векторов плоскости, пространства;

2) коэффициенты линейного уравнения с n неизвестными составляют n-мерный вектор;

3) любое решение системы линейных уравнений с n неизвестными будет n-мерным вектором;

4) в матрице размера nn любая строка и любой столбец являются n- мерными векторами.

Определение. Суммой векторов  и  называется вектор

(a₁+b₁,a₂+b₂,...,a_n+b_n).

Роль нуля играет вектор 0=(0,0,...,0).

Определение. Вектор (-a₁,-a₂,...,-a_n) называется противоположным вектору .

Определение. Произведением вектора  на число k называется вектор kk=(ka₁,ka₂,...,ka_n).

Свойства умножения вектора на число

Свойство 1. kRkkk

Свойство 2. k,lR klkl

Свойство 3. k,lR kl)(kl))

Свойство 4. 

Доказать самостоятельно.

Следствие 1. 

Следствие 2.  kRk

Следствие 3. 

Доказать самостоятельно.

Определение. Множество всех n-мерных векторов с действительными координатами с операциями сложения и умножения вектора на число называется n-мерным векторным пространством.

Определение. Вектор  из n-мерного пространства называется пропорциональным вектору , если существует такое число k, что  k.

(Нулевой вектор пропорционален любому вектору.)

Обобщением понятия пропорциональности векторов является понятие линейной комбинации векторов.

Определение. Вектор  из n-мерного пространства называется линейной комбинацией векторов a₁,a₂,...,a_s, если существуют такие числа t₁,t₂,...,t_s, что = t₁a₁+ t₂ a₂+...+t_s a_s. (1)

Определение. Система векторов a₁,a₂,...,a_r (r называется линейно зависимой, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой в противном случае.

Можно определить иначе. Система векторов a₁,a₂,...,a_r (r называется линейно зависимой, если существуют такие числа t₁,t₂,...,t_r, хотя бы одно из которых отлично от 0, что имеет место равенство t₁a₁+ t₂ a₂+...+t_r a_r=0

Система векторов a₁,a₂,...,a_r называется линейно независимой, если такое равенство возможно лишь при всех t_i равных 0.

Свойство. Если некоторая подсистема системы векторов a₁,a₂,...,a_s линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство

Пусть дана система векторов а_i1.a_i2,...,а_s, и подсистема этой системы векторов а_i1.a_i2,...,а_ir, где rs, линейно зависима, то есть  t_i1, t_i2,..., t_ir, не все равные 0, такие, что t_i1 а_i1+t_i2a_i2+...+t_ira_ir, отсюда получаем t₁₁a₁₁+t₂₂a₂₂+...+t_i2a_i2+...+t_ira_ir+...+t_sa_s=0 и не все t_i=0, следовательно, система векторов a₁,a₂,...,a_s линейно зависима.

Следствие 1. Система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

Следствие 2. Система векторов, содержащая два противоположных вектора, линейно зависима.

Следствие 3. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Следствие 4. Если система векторов линейно независима, то и всякая ее подсистема линейно независима.

Определение. Линейно независимую систему n-мерных векторов a₁,a₂,...,a_s назовем максимальной линейно независимой системой, если добавление к этой системе любого n-мерного вектора  делает эту систему линейно зависимой.

Возникает вопрос: какое максимальное число векторов может составлять линейно независимую систему. Рассмотрим векторы

е₁=(1,0,0,...,0),

……………… (2)

е_n=(0,0,0,...,1).

Эти векторы называются единичными векторами n-мерного пространства.

Предложение. Система единичных векторов (2) линейно независима.

Доказательство. Рассмотрим равенство

k₁e₁+k₂e₂+...+k_ne_n=0,

k₁(1,0,0,...,0)+ k₂(0,1,0,...,0)+ k_n(0,0,0,...,1)=1,

(k₁ , 0,..., 0)+(0, k₂ ,0, ..., 0)+...+(0, 0, 0, ... , k_n)=0,

(k₁ , k₂ , ... , k_n)=0, то есть k_i=0 _i=1, ... , n.

Таким образом, мы получили, что система единичных векторов (2) линейно независима.

Предложение. Любой вектор n-мерного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов системы (2).

Доказательство  самостоятельно.

Определение. Будем говорить, что вектор  линейно выражается через систему векторов а₁ , а₂ , ... , а_r , если  является линейной комбинацией векторов, входящих в систему а₁ , а₂ , ... , а_r .

Определение. Система векторов ₁, ₂ , ... , _s линейно выражается через систему векторов а₁ , а₂ , ... , а_r , если всякий вектор _i является линейной комбинацией векторов системы  (i=1,2,...,s).

Лемма. Если система векторов  линейно выражается через систему векторов , а система векторов  линейно выражается через систему векторов , то система векторов  линейно выражается через систему векторов .

Доказательство

Пусть даны системы векторов

а₁ , а₂ , ... , а_r ; ₁, ₂ , ... , _s ; ₁, ₂,..., _t.

По условию, система векторов  линейно выражается через систему векторов , а система векторов  линейно выражается через систему векторов , то есть

;

тогда

,

то есть любой вектор системы  линейно выражается через систему векторов .

Теорема. Если в n-мерном векторном пространстве даны две системы векторов а₁ , а₂ , ... , а_r и ₁, ₂ , ... , _s и все векторы системы  линейно выражаются через векторы системы , тогда если r>s, то система векторов  линейно зависима.

Доказательство

Докажем методом математической индукции по числу s.

1. s=1, тогда а₁ =с₁₁, а₂ =с₂₁ , ... , а_r =с_r₁.

Если с₁=0, то система векторов  линейно зависима, так как содержит нулевой вектор а₁.

Если с₁0, то имеем линейную зависимость (-с₂)а₁ + с₁ а₂+ а₃+...+0 а_r следовательно, система  линейно зависима.

2. Предположим, что утверждение верно для s-1 вектора, и докажем для s. Пусть

_с₁₁_с₁₂_...+c_1s_s

₂c₂₁_+c₂₂₂+...+c_2s_s

...................................

_r=c_r1₁+c_r2₂+...+c_rs_s.

Если с₁₁= c₂₁=...= c_r1=0, то утверждение справедливо, так как система векторов  в этом случае линейно выражается через s-1 вектор ₂ , ... , _s.

Пусть один из коэффициентов отличен от нуля. Не нарушая общности доказательства, можем считать, что с₁₁0. Рассмотрим векторы

................................................. (*)

вновь построенные r-1 вектор, линейно выражаются через s-1 вектор, тогда, в силу индуктивного предположения, векторы линейно зависимы, то есть b₂ b₃, ...,b_rR, среди которых есть отличные от нуля, такие что . Подставив это в равенство (*), получим

или после преобразования

.

Теорема доказана.

Определение. Две системы векторов называются эквивалентными, если каждая из них линейно выражается через другую.

Следствие 1. Всякие две эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат равное число векторов.

Следствие 2. Всякие s векторов n-мерного пространства составляют при s>n линейно зависимую систему.

Доказательство. Рассмотрим систему s векторов n-мерного пространства (s>n) ₁=(a₁₁, a₁₂, ..., a_1n) ,

₂=(a₂₁, a₂₂, ..., a_2n),

............................ (3)

_s=(a_s1, a_s2, ..., a_sn).

По утверждению, эта система линейно выражается через систему (2), следовательно, по доказанной теореме она линейно зависима.

Следствие 3. Всякая максимальная линейно независимая система векторов n-мерного пространства состоит из n векторов.

Следствие 4. Если в данной линейно зависимой системе векторов взяты две в ней максимально линейно независимые подсистемы, то эти подсистемы содержат равное число векторов.