Понятие о нечетких отношениях
Теория нечётких отношений (НО) позволяет проводить качественный анализ систем с учетом различия в силе связей между объектами системы.
Подобно НМ, НО (обозначим R) можно задать с помощью его функции принадлежности:
,
где L – отрезок [0, 1].
Часто берут какую-либо общую структуру, чем отрезок [0, 1], а под отношением R понимают саму функцию
.
L может быть множество: или вещественных чисел, или лингвистических переменных, или m–мерных векторов.
Рассмотрим, например, бинарное отношение
(или R(x
, y)).
Если
L
– отрезок [0,
1], то
;
(или
R(x
, y)).
Если Х и Y конечные, то НО R можно представить в виде матрицы отношения, где на пересечении строки xi и yj столбца помещается элемент r(x,y)R.
Если
Х
и Y
конечные
и совпадают,
то НО
,
т.е. НО на множестве Х.
Ему соответствует взвешенный граф, в
котором каждая пара вершин (x,
y)
из Х соединяется
стрелкой с весом R(x,y).
Над НО могут производиться те же операции, что и над НМ (см. выше).
Понятие о нечетких выводах
Нечеткие выводы – это наиболее важный метод в нечеткой логике. Многие прикладные системы, использующие промежуточные нечёткие оценки, это либо системы, основанные на правилах (нечётких продукционных правилах), либо реляционные системы, используюш\щие нечёткие отношения. Работу и тех и других систем теоретически можно объяснить с единых позиций использования композиционных правил нечетких выводов.
Рассмотрим пример, как выполняются нечеткие выводы по правилам. Пусть существуют знание эксперта о том, что необходимо открыть спускной клапан, если уровень воды поднимается. Это знание можно представить в виде нечеткого продукционного правила типа «ЕСЛИ .(предпосылка, условие), ТО (заключение, действие)»:
ЕСЛИ уровень воды высокий, ТО открыть клапан. (***)
Понятия «высокий» и «открыть» могут интерпретироваться с помощью НМ с конкретными функциями принадлежности:
-
уровни высоты воды;
-
углы открытия клапана.
Полученные функции принадлежности можно запомнить в ЦВМ как базу знаний, т.е. можно считать что продукционые правила типа (***) накапливаются в базе знаний.
Пусть также при наблюдении текущего уровня воды обнаружено, что
«Уровень воды довольно высокий».
Понятие «довольно высокий» может интерпретироваться с помощью НМ
.
Какую же «операцию» нужно проделать в такой ситуации?
Т.е. возникает формула:
ЕСЛИ «высокий», ТО «открыть»
«довольно высокий»
-------------------------------
?
Разумеется, предпосылка «высокий» и наблюдение «довольно высокий» образуются путем сопоставления. В четкой логике сопоставление не имеет смысла, поэтому никакого логического вывода сделать нельзя. Однако человек, получив путем приближенного сопоставления вывод
ЕСЛИ «высокий», ТО «открыть»
«довольно высокий»
------------------------------- ,
«Слегка открыть»
должен слегка приоткрыть клапан. По сути он выполнил нечеткий вывод (точнее провел приближенные рассуждения.
Для реализации приведенного нечеткого вывода (он сделан на лингвистическом уровне) с помощью функций принадлежностей существует более ста методов, которые преобразуют нечеткие выводы на лингвистическом уровне в вычисления на ЦВМ.
Следует отметить, что получение конкретного значения величины управления (например, открыть клапан на 70 градусов) из НМ U «открыть» есть процесс дефазификации, т.е. преобразования НМ в чёткое представление.