- •Введение
- •Основные макроэкономические понятия §1. Макро- и микротеория. Агрегирование
- •§2. Факторы производства
- •§3. Износ. Амортизация и инвестиции
- •§4. Измерение объема национального производства и национального дохода
- •§5. Сбережения и норма процента. Дисконтирование
- •§6. Ценные бумаги
- •Облигации
- •§7. Денежная масса, номинальная и реальная заработная плата
- •§8. Международная торговля и системы валютных курсов
- •§ 9. Производственная функция
- •§10. Список основных макроэкономических элементов
- •Классическая теория §1. Макроэкономические теории
- •§2. Рынок труда
- •Предложение труда
- •Спрос на труд
- •Равновесие на рынке труда
- •§3. Рынок капитала (сбережений и инвестиций)
- •Предложение капитала
- •Спрос на капитал
- •Равновесие на рынке капитала
- •§4. Денежный рынок
- •§5 Краткий обзор классической теории
- •§6 Сравнительная статика
- •§7 Критика классической теории
- •Теория Кейнса
- •§1 Склонность к потреблению
- •§2 Спекулятивный спрос на деньги
- •§3 Рынок труда
- •§4 Рынок капитала (сбережений и инвестиций)
- •§5 Денежный рынок
- •§6 Краткая формулировка модели и определение равновесия
- •§7 Существование и единственность равновесия в модели Кейнса
- •§8 Инфляция и безработица
- •§9 Сравнительная статика. Изменение предложения денег.
- •§10 Сравнительная статика. Изменение производственной функции.
- •§11 Сравнительная статика. Изменение номинальной зарплаты
- •Экономический рост §1 Однопродуктовая макроэкономическая модель
- •§2 Независимость производственного процесса от масштаба
- •§3 Модель Солоу
- •§4 Сбалансированный рост
- •§5 Асимптотическое поведение траектории в модели Солоу
- •§6 Оптимальная норма накопления
- •§ 7 Была ли необходима перестройка экономики в ссср?
- •Элементы теории потребительского поведения §1. Отношение предпочтения и функция полезности
- •§2. Неоклассическая задача потребления
- •Теория фирм
- •§1 Задача максимизации прибыли фирмы в условиях совершенной конкуренции
- •§2 Несовершенная конкуренция. Монополия и монопсония
§3 Модель Солоу
Для математического исследования динамической модели, построенной в §1, перейдем к относительным переменным
(11)
Производительность труда и фондовооруженность были введены в рассмотрение в предыдущем пункте. Величина есть потребление на одного рабочего. Ее называют удельным потреблением. Если считать, что величина потребления полностью совпадает (в денежном выражении) с общей массой зарплаты, то совпадает с . Величина представляет собой долю произведенного продукта, вкладываемую в расширение производства, и называется нормой (долей) накопления. Как отмечалось в §1, для замыкания однопродуктовой динамической модели надо в частности задать закон изменения численности занятых . Сейчас мы обсудим один из возможных вариантов.
На семинарских занятиях мы выяснили, что при отсутствии воин, эпидемий, притока или оттока беженцев и других потрясений население с течением времени стабилизируется. Сделав такое допущение, можно считать, что численность населения изменяется с постоянным темпом, т.е. по экспоненциальному закону. То же самое можно сказать и о численности активного населения, поскольку оно составляет фиксированную долю от численности населения в трудоспособном возрасте.
Предположим, что экономика развивается в условиях полной занятости или с постоянным уровнем безработицы (с постоянным процентом безработных). Тогда и численность занятых будет изменяться с постоянным темпом.
Под темпом роста непрерывной величины понимают
(12).
Если ,
В дальнейшем будем считать, что речь идет о росте в буквальном понимании этого слова, т.е. . В силу (4), уравнение (2) может быть записано в следующем виде: (13)
Отсюда и из (11) следует .
Разделив обе части этого равенства на , с учетом (12) будем иметь . Используя формулу (8) приходим к дифференциальному уравнению, которое называют моделью Солоу:
(14)
Как видно из формул (4) и (11), (15)
С учетом этого уравнения получим (16).
Дифференциальное уравнение первого порядка относительно фондовооруженности.
Если задана норма накопления , то по решению уравнения (16) можно легко найти макропеременные . Действительно, если , то .
Вычислив по формулам (8-15) , можно получить и остальные макропеременные: , , .
§4 Сбалансированный рост
Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором основные макропоказатели растут с постоянным темпом. Применительно к рассмотренной модели, это означает, что с постоянным темпом должны возрастать величины . При сделанном в предыдущем параграфе предположении, будет обладать таким свойством: обозначим – темпы роста первых четырех показателей, и сохраним принятое обозначение для темпа роста рабочей силы. Тогда
, , , , (17)
Покажем, что в этом случае темпы роста всех показателей должны совпадать. В силу (2) и (17) имеем: . Отсюда, учитывая, что , получаем .
Из (13) и (17): (18)
Разделив обе части этого тождества на будем иметь
После дифференцирования по времени получаем
. Это тождество при , что эквивалентно . ( ).
Отсюда и из (18) получаем , что может иметь место лишь в случае .
Сопоставляя полученные соотношения между темпами роста, приходим к выводу, что . Покажем, что все эти величины равны - темпу роста рабочей силы. Поскольку величины связаны производственной функцией, то . Используя линейную однородность производственной функции, получаем . Т.к. , то отсюда следует .
Производственная функция монотонно возрастает по каждому аргументу, поэтому полученное тождество может выполняться лишь в том случае, когда есть константа, т.е. . Таким образом, , что и требовалось доказать.
Итак, при сбалансированном росте темпы изменения основных макропоказателей должны быть одинаковы. Отсюда, в частности, следует, что при сбалансированном росте норма накопления и фондовооруженность не зависят от времени. Это означает, что траектории сбалансированного роста отвечает решение дифференциального уравнения Солоу (16), имеющее вид . Найдя такое решение, можно легко определить основные макропеременные:
(19)
Покажем, что рассматриваемые модели для каждой фиксированной постоянной нормы накопления существует единственная траектория сбалансированного роста.
Постоянное решения дифференциального уравнения (16), соответствующее сбалансированному росту, обращает левую часть этого уравнения в нуль, то есть является корнем следующего конечного уравнения:
(20)
Покажем, что при заданном постоянном значении нормы накопления уравнение (20) имеет в области (только такие значения имеют экономический смысл) единственное решение. Для этого исследуем свойства функции
(21)
Поскольку (см § 2), то . В силу (10) имеем
Отсюда, в частности, следует, что в некоторой правосторонней окрестности нуля функция принимает положительные значения.
Далее, из (9) следует . Тогда при достаточно больших . Сопоставляя полученные результаты, приходим к тому, что в некоторой точке функция обращается в ноль. Осталось доказать единственность.
Поскольку (см пар 2), то и , то есть - строго вогнутая функция. Тогда, как легко убедиться, она не будет иметь положительных нулей, отличных от . Возможный график этой функции приведен на рисунке ОдИн.
Итак, при фиксированной постоянной норме накопления уравнение (20) имеет в области единственное решение, т.е. в рассматриваемой модели существует единственная траектория сбалансированного роста при каждом .
Замечание. Легко видеть, что чем больше норма накопления, тем больше фондовооруженность на траектории сбалансированного роста.