- •1.Задачи, приводящие к ду
- •2.Основные понятия теории ду
- •3.Задачи Коши. Теорема существования и единственности решения
- •Теорема существования и единственности решения задачи Коши для номального уравнения первого порядка.
- •4.Ду первого порядка. Общее и частное решение
- •5.Уравнение с разделенними и разделяющимися переменными
- •6.Однородное уравнение первого порядка
- •7.Линейные однородные ду. Решение уравнения
- •8.Уравнение Бернулли
- •9.Уравнение в полных дифференциалах
- •10. Особые решения ду 1 порядка
- •11.Ду высших порядков. Общее и частное решение
- •16.Линейные ду 2го порядка с постоянными коэффицентаки
- •17.Линейное ду п-го порядка с постоянными коэффициентаки
- •18.Неоднородное линейное уравнение 2го порядка
- •19.Метод вариации производных постоянных
- •20.Неоднородные линейные уравнения высших порядков
- •21.Системы ду. Нормальная система
- •22.Геометрический смысл решения системы ду
- •23.Интегрирование систем ду
- •24.Системы ду с постоянными коэффициентами
- •26.Приближенные метоыд решения дифференциальных уровнений
- •27.Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову
- •28.Типы точек покоя
- •29.Числовой ряд сумма ряда
- •30.Необходимые признаки сходимости ряда
- •31.Сравнение рядов с положительными членами
- •32.Признаки сравнения. Признак Даламбера.
- •33. Признак сравнения. Признак коши
- •34. Интегральные сходимости знакопостоянных рядов
- •35. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •36. Знакопеременный ряд абсолютная и условная сходимость
- •37 Функциональный ряд. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов
- •38. Мажорируемый ряд.
- •39. Степенной ряд. Теорема Абеля
- •40. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •41. Действие над степенными рядами (свойства степенных рядов)
- •42. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •45. Ряды Фурье. Вычисление коэффициентов ряда фурье
- •46. Разложение в ряд Фурье непериодической функции
- •47. Ряд фурье для четных и нечетных функций
- •48. Ряд фурье по ортогональным системам функций
- •49. Интеграл Фурье
- •50. Преобразование Фурье
- •51. Функции комплексного переменного
- •52. Дифф-ие ф-ии комплексного переменного. Аналитические функции.
- •53. Условие Коши-Римана
- •54.Конформные отображения
- •55.Интеграл по комплексному переменному
- •56.Теорема Коши. Интеграл Коши
- •58.Ряд Лорана
- •57.Степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.
- •59.Классификация изолированных особых точек однозначной функции
- •61.Вычисление вычетов
- •62.Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки
- •63.Основная теорема о вычетах
- •64.Вычисление интегралов с помощью вычетов
- •65.Оригинал и изображение по Лапласу
- •66.Свойства преобразований по Лапласу
- •67.Теорема о свертке
- •68.Нахождение оригинала по изображению
- •69.Теоремы разложения
- •70.Операционный метод решения ду и систем ду
55.Интеграл по комплексному переменному
Пусть - непрерывная функция комплексного , определенная в области и - гладкая кривая, лежащая в , с началом в точке и концом в точке (рис. 137), заданная уравнением
или, что все равно, двумя уравнениями
. (1)
Рис. 137
Как всегда, направление на соответствует изменению параметра от до .
Интеграл от функции вдоль кривой определяется следующим образом:
.
Если учесть, что и , то равенство (2) можно коротко записать так:
. (3)
Таким образом, из (2) видно, что интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов, и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.
Интеграл (2) существует для любой непрерывной функции (в этом случае функции и также непрерывны) и любой гладкой кривой (т. е. когда , ) непрерывны и ).
Если кривая кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков , то по определению считаем
. (4)
На основании свойств криволинейного интеграла легко получаем
1)
,
где та же кривая, что и , но ориентированная противоположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 7.4).
2)
,
где - постоянные числа.
3)
Если при , то
,
где - длина .
В самом деле, на основании свойства обыкновенного интеграла имеем
.
56.Теорема Коши. Интеграл Коши
Результат, полученный в примере 3-5, является частным случаем теоремы Коши и, если является аналитической (или только дифференцируемой) функцией в области комплексной плоскости, то интеграл по любой замкнутой кривой от равен нулю:
|
(48) |
Теорема Коши имеет несколько важных следствий:
|
интеграл от не зависит от пути интегрирования, а определяется только значениями начальной и конечной точек (см. пример 3-5 для аналитической функции ); если - объединенная граница многосвязной области (рис.17), то имеет место формула |
|
|
|
(49) |
|
|
Рис.17 |
|
||
|
|
|
|
где все участки границы обходятся в положительном направлении, т. е. когда захватываемая область остается слева при движении вдоль каждой кривой ; значение интеграла от функции по некоторой кривой, соединяющей точки и , т. е.:
|
(50) |
будет аналитической функцией переменной , причем . Функция (50) называется первообразной, и для нее имеет место комплексный аналог формулы Ньютона-Лейбница:
|
(51) |
58.Ряд Лорана
Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R. Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.7.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора: (так как | z – z0| < | t – z0| , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , где . Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на Lρ | t – z0| < | z – z0| : . И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: ,г де . Переобозначим n → −n, тогда форма коэффициентов ряда для Lρ совпадёт с формой коэффициентов ряда для LR: поэтому окончательно для интеграла по Lρ получим . Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть Γ - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R, и точка z0 расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области ; , поэтому для любого n , и . Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени (z – z0), называется рядом Лорана функции f(z). Его часть, содержащая неотрицательные степени ( ), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени ( ), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z0| ≤ R, главная - во внешности круга | z – z0| ≥ ρ, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце ρ ≤ | z – z0| ≤ R. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно. Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл там, где функция теряет аналитичность. Рассмотрим