20. Компактная схема метода Гаусса для треугольного разложения матрицы системы.

21. Метод прогонки.

Для трехдиагональных систем. Используется при решении задач матфизики и аппрокс. сплайнами

19. Метод Гаусса и lu-разложение.

1. Схема единственного деления (без отбора)

2. С выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора)

3. –«- по всей матрице (схема полного выбора)

26. Нормы векторов и матриц. Нормой вектора называется число , удовлетворяющее трем аксиомам: 1) причем = 0 тогда и только тогда, когда = 0; 2) для любого вектора и любого числа ;

3) для любых векторов и . Наиболее употребительными являются следующие три нормы:   ,     ,   . Абсолютная и относительная погрешности вектора вводятся с помощью формул:   и   .

Нормой матрицы называется величина . Введенная норма обладает свойствами, аналогичными свойствам нормы вектора: 1) причем = 0 тогда и только тогда, когда  A = 0; 2) для любой матрицы A и любого числа ; 3) для любых матриц A и B; 4) . Каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма матрицы:   ,     ,    . В оценках вместо нормы используется евклидова норма матрицы   , так как   . Абсолютная и относительная погрешности матрицы вводятся аналогично погрешностям вектора с помощью формул:   ,    .

27. Решение проблемы собственных значений для симметричных матриц.

Метод	Результат	Примечания
1. Якоби	Диагональ­ная форма матрицы	Теоретически требует бесконечного числа шагов
2. Гивенса	Трехдииональльная форма матрицы	Требует знания корней простого полинома
3. Хаусхолдера	Трехдиаго­нальная форма матрицы	Требует знания корней простого полинома

28. Решение проблемы собственных значений для матриц общего вида.

Метод	Результат	Примечания
1.Классика	Собственные значения	Требует нахождения корней полинома общего вида
2.Обратных итераций	Собственные значения и собственные векторы	Оптимален, когда есть прибл. значение собств. числа
3.Степенной (в т.ч. со сдвигом)	Макс. по модулю собственное число
4. QR	Квазидиаго­нальная форма матрицы	Лучший метод, облада­ющий наибольшей общностью
5. LR	-“-	Бывает неустойчив

Вещественное число λ и вектор z называются собственной парой матрицы A, если они удовлетворяют следующему условию: Az = λz. При этом для вещественной матрицы A может быть поставлена задача поиска только собственных чисел, или как собственных чисел, так и векторов.

1. Все п собственных значений симметричной матрицы раз­мерности пХп, состоящей из действительных чисел, действи­тельные. Это полезно помнить, так как матрицы, встречающиеся в инженерных расчетах, часто бывают симметричными.

2. Если собственные значения матрицы различны, то ее соб­ственные векторы ортогональны. Совокупность п линейно неза­висимых собственных векторов образует базис рассматривае­мого пространства. Следовательно, для совокупности линейно независимых собственных векторов

Xⁱ, где i == 1,. . ., n,

любой произвольный вектор в том же пространстве можно выра­зить через собственные векторы.