12. Аргумент комплексного числа

Главным значением аргумента ненулевого комплексного числа z назовем то единственное действительное число 𝜑 ∈ [0,2π ), для которого z /| z| =exp(i𝜑 ). Обозначаем главное значение аргумента как arg z.

Всевозможные решения уравнения относительно переменной 𝜑, т.е. множество {arg z+2π k ∣ k∈ ℤ } назовем аргументом комплексного числа z и обозначим Arg z. Таким образом Arg z -- многозначная функция.

13. Многозначные функции

Примерами многозначных функций являются аргумент Arg z и . Ветвью многозначной функции в области D назовем такую непрерывную однозначную функцию , что для любого . Для некоторых областей D⊆ ℂ можно выделить ветвь многозначной функции с соблюдением непрерывности или аналитичности, а для других нет. Так например, для области и функции нельзя выделить ветвь, а для области

0 1

-1

Рис. Выделение ветви функции Arg z

можно: пусть ψ (z)=arg z+2πk_z, где k_z -- целое число, которое указано на рисунке в той части области D, в которой лежит комплексное число z. Если z лежит на границе, то берется любое из двух возможных целых чисел. Построенная таким образом ветвь будет непрерывной функцией. Теперь можно построить и аналитическую ветвь многозначной функции и в той же области D -- . Заметим, что для кольца 0<|z| <R такое построение, с соблюдением аналитичности, невозможно.

Определим

Если z=x -- положительное действительное число, то в силу монотонности действительной функции e^y, существует только одно действительное число в множестве Ln x. Оно есть не что иное как натуральный логарифм числа x (обозначается ln x).

Предложение. Пусть -- показательная форма записи. Тогда

Пример. Вычислим:

Свойства комплексного логарифма таковы.

Л1. Область допустимых значений логарифма -- все ненулевые комплексные числа. Если z=re^i𝜑 , где r=|z| и 𝜑 ∈ Arg z, то Ln z={ln r+i(𝜑 +2π k) | k∈ ℤ } .

Л2 [производная логарифма] (Ln z)'= 1 / z . (Имеется в виду производная от любой ветви логарифма)

Доказательство. Дифференцируем левую и правую часть соотношения e^w=z, считая w функцией от z. Получаем: e^w⋅ w'_z=1, откуда w'_z= 1/e^w =1/z .

Следующее свойство вытекает из основного функционального соотношения для экспоненты.

Л3. Для любых ненулевых комплексных чисел z₁, z₂ и z выполняются равенства:

Ln(z₁⋅ z₂)=Ln z₁+Ln z₂; Ln z^k=k Ln z (k∈ ℤ ).

С помощью комплексного логарифма можно определить степень любого ненулевого комплексного числа с любым комплексным показателем:

Пример iⁱ={e^{-π /2-2πk} | k∈ ℤ } .

Л4. Для всех ненулевых комплексных чисел имеет место равенство:

Определим теперь обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции:

Arcsin z={ w∈ ℂ | sin w=z} ; Arccos z={ w∈ ℂ | cos w=z} ;

Arcsh z={ w∈ ℂ | sh w=z} ; Arcch z={ w∈ ℂ | ch w=z };

Arctg z={ w∈ ℂ | tg w=z} ; Arcth z={ w∈ ℂ | th w=z} .

Используя комплексный логарифм, установим формулы для вычислений этих многозначных функций. Начнем с решения уравнения ch w=z относительно w. Заменяя ζ =e^w, сводим это уравнение к квадратному ζ²-2zζ +1=0, решения которого суть: . Получаем окончательно:

.

Аналогично:

Arccos z=-i Ln(z+√(z²-1)); Arcsh z=Ln(z+√(z²+1) ); Arcsin z=- i Ln(iz+√(1-z²));

Пример Вычислим: ; .