15.Свободные колебания с вязким сопротивлением.

Существуют устройства (демпферы), которые создают силу пропорциональную относительной скорости (рис.36). Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом демпфирования или коэффициентом вязкого сопротивления.

Дифференциальное уравнение движения точки с массой m, закрепленной на упругом элементе и демпфере имеет вид: или , , .Начальные условия имеют вид: , , .Характеристическое уравнение имеет вид: .Корни характеристического уравнения равны:

Рассмотрим возможные решения:1-й случай , , Решение имеет вид:

условнаяамплитуда затухающих колебаний;

- круговая или циклическая частота затухающих колебаний. Измеряется в рад/сек. - фазовый угол (или просто фаза).

- период затухающих колебаний (рис.37).

- частота колебаний (1 колеб/cек=1 Гц)

- декремент колебаний.

- логарифмический декремент колебаний.

Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой и амплитудой, величина которой все время убывает.

Движение изображающей точки на фазовой плоскости показано на рис. 38.

Рис.38

 2-й случай , ,

23.Главный момент количеств движения системы.Главным моментом количеств движения (или кинетическом моментом) системы относительно данного центра О называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относи­тельно этого центра.

Аналогично определяются моменты количеств движения системы относительно координатных осей: , , .При этом представляют собою одновременно проекции вектора на координатные оси.Подобно тому, как количество движения системы является характеристикой ее поступательного движения, главный момент количеств движения системы является характеристи­кой вращательного движения системы.

 Чтобы уяснить механический смысл величины и иметь необхо­димые формулы для решения задач, вычислим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис.45). При этом, как обычно, определение вектора сводится к определению его проекций .Найдем сначала наиболее важ­ную для приложений формулу, оп­ределяющую величину К_z, т.е. кине­тический момент вращающегося тела относительно оси вращения.Для любой точки тела, отстоя­щей от оси вращения на расстоя­нии , скорость . Сле­довательно, для этой точки . Тогда для всего тела, вынося общий множитель за скобку, получим Величина, стоящая в скобке, представляет собою момент инерции тела относительно оси z. Окончательно находим Таким образом, кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Теорема об изменении главного момента количеств движения системы (теорема моментов).Теорема моментов для одной материальной точки будет справедлива для каждой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть точку системы с массой , имеющую скорость , то для нее будет где и - равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на данную точку.Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим: Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна нулю. Тогда найдем окончательно: Полученное уравнение выражает следующую теорему моментов для системы: производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра, равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.Проектируя обе части равенства на неподвижные оси Охуz , получим: Уравнения выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.Практическая ценность теоремы моментов состоит еще в том, что она, аналогично теореме об изменении количества движения, по­зволяет при изучении вра­щательного движения системы исключать из рас­смотрения все наперед неиз­вестные внутренние силы.

29.Плоскопараллельное движение твердого тела.Положение тела, совершающего, плоскопараллельное движение, определяется в любой момент времени положением полюса и углом поворота тела вокруг полюса. Задачи динамики будут решаться проще всего, если за полюс взять центр масс С тела (рис.58) и определять положение тела координатами X_C, Y_C и углом .

 

Рис.58На рис.58 изображено сечение тела плоскостью, параллельной плоскости движения и проходящей через центр масс С. Пусть на тело действуют внешние силы , ,... , лежащие в плоскости этого сечения. Тогда уравнения движения точки С найдём по теореме о движении центра масс ,а вращательное движение вокруг центра С будет определятся уравнением ,т.к. теорема, из которой получено это уравнение, справедливо и для движения системы вокруг центра масс. В результате, проектируя обе части равенства на координатные оси, получим: , , , , Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела. С их помощью можно по заданным силам определить закон движения тела или, зная закон движения тела, найти главный вектор и главный момент действующих сил.При несвободном движении, когда траектория центра масс известна, уравнения движения точки С удобно составлять в проекциях на касательную и главную нормаль n к этой траектории. Тогда получим: , , , - радиус кривизны траектории центра

масс.