3.8 Теорема Лапласа

Пусть , если в матрице вычеркнуть строк и столбцов, , то на пересечении этих строк и столбцов образуется матрица порядка . Определитель этой матрицы будем называть минором порядка , составленным из элементов матрицы , или просто минором -ого порядка матрицы . Элементы матрицы , не принадлежащие ни одной из вычеркнутых строк и ни одному из вычеркнутых столбцов, порождают минор порядка ( ), который будем называть минором, дополнительным к данному. Алгебраическим дополнением данного минора называется его дополнительный минор, умноженный на , где – сумма номеров вычеркнутых строк и столбцов. Например, в матрице

при вычеркивании строк и столбцов образуется минор второго порядка

.

Его дополнительный минор имеет вид

.

Так как , то алгебраическим дополнением минора является .

Теорема Лапласа. Пусть и . Определитель матрицы равен сумме произведений всевозможных миноров -ого порядка, взятых из данных строк (столбцов), на их алгебраические дополнения.

Например, проведем разложение определителя

на основании теоремы Лапласа по первой и третьей строкам ( ),

.

3.9 Разложение определителя по элементам строки или столбца

Мы не будем останавливаться на доказательстве теоремы Лапласа в общем случае, отсылая читателя к учебнику [2], а докажем лишь частный случай этой теоремы, когда .

Предложение 3.15. Пусть . Тогда равен сумме произведений всевозможных элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на их алгебраические дополнения,

(или ), ,

где через обозначается алгебраическое дополнение элемента .

◄ Принимая во внимание предложение 3.6, доказательство проведем лишь в случае разложения определителя по произвольной строке. Вначале рассмотрим частный случай, когда а матрица А имеет вид

и покажем, что

.

Действительно,

, (3.28)

где – множество всех перестановок -ой степени вида

обладающих свойством . Рассмотрим множество всех отображений вида

, (3.29)

где . Так как , есть перестановка степени . Но различные перестановки из порождают различные перестановки из и . Поэтому множество перестановок вида (3.29), где , совпадает с . Кроме того, по построению и, следовательно, . Возвращаясь к равенству (3.28), получим, что

.

Пусть теперь все элементы строки кроме, возможно, равны нулю,

. (3.30)

j

Последовательными взаимными переменами места соседних строк и соседних столбцов переведем строку на место , а после этого – столбец на место . Определитель полученной после этого матрицы в силу предложения 3.7 будет равен

,

где – минор, дополнительный к элементу , а первые n-1 элементов последней строки матрицы равны 0. По доказанному выше,

.

Откуда

.

Переходя к общему случаю, представим строку в виде суммы векторов-строк порядка _,

.

В силу предложения 3.11

,

где матрица получена из матрицы заменой её строки на строку

. По доказанному выше . Поэтому

. ►

Лекция XII.

План

3.10. Определитель произведения матриц.

3.11. Формула обратной матрицы.

3.12. Теорема Крамера.