4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

Уравнение вида

(1)

называется линейным уравнением, где функции и определены и непрерывны на некотором интервале . Решают его с помощью

1) метода вариации постоянной. Для этого решают соответствующее однородное уравнение , откуда . Затем решение уравнения (1) ищем в предположении, что , то есть . Подставляя это решение в уравнение (1), получаем

или .

Отсюда , где константа интегрирования. Каждое из этих решений определено на всем интервале І , а за границами этого интервала неопределенной является правая часть уравнения (1).

2) методом Бернулли, то есть с помощью подстановки Бернулли где и две неизвестные функции, исходное уравнение приводится к виду или

.

Функция , может быть выбрана произвольно, то есть за принимают любое частное решение уравнения (например, ), которое обращает в нуль коэффициент при в последнем уравнении. Тогда это уравнение принимает вид или , , откуда . Общее решение исходного уравнения

.

Уравнение Бернулли имеет вид

( ),

где и непрерывные функции на некотором интервале . Уравнение Бернулли можно решить с помощью: 1) подстановки , которая приводит его к линейному неоднородному уравнению; 2) подстановки .

5. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции .

Если в уравнении вида функции непрерывны в области , то условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение было полным дифференциалом функции .

При этом . Точка выбирается так, чтобы промежутки принадлежали области .

6. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Если уравнение , где заданная действительная функция от , не возможно разрешить относительно , то применяют другие методы интегрирования:

І. , причем существует хотя бы один действительный корень = этого уравнения, а если существуют другие корни, то они изолированные. Т.к. это уравнение не имеет ни ни то постоянная. Інтегрируя уравнение = , получаем или . Но является корнем рассматриваемого уравнения, значит, его общий интеграл.

ІІ. . Введем параметр и заменим уравнение двумя , , , такими, что , . Имеем . Значит, интегральные кривые определяются уравнениями в параметрической форме , .

Если уравнение разрешается относительно , то за параметр берут . Действительно, если , то допуская , получим , так что , . Интегральные кривые определяются уравнениями , .

Выразив параметр , если это возможно, получим общий интеграл уравнения .

ІІІ. . Введем параметр и заменим уравнение двумя , . Тогда . Значит, интегральные кривые определяются уравнениями в параметрической форме .

Если уравнение разрешается относительно , то за параметр берут . Тогда , . Откуда .

Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение вида , . Вводя параметр , получим . Продифференцировав его по , получим . Отсюда или

. (4)

Последнее уравнение линейно относительно и . Решив его, например, методом Лагранжа и присоединив к нему уравнение (4), получим уравнения для определения интегральных кривых. Тут могли быть утеряны решения, для которых постоянная, а значит . Постоянная является решением уравнения только в том случае, если является корнем уравнения . Таким образом, если уравнение имеет действительные корни , то к найденным решениям уравнения Лагранжа присоединяются решения (прямые линии).

5. Уравнением Клеро называется дифференциальное уравнение вида . Допуская , получим . Дифференцируя по , имеем или . Отсюда либо и, значит, , либо . В первом случае, выражая , найдем семейство прямых (прямые линии) – общее решение уравнения Клеро. В другом случае решение , , которое будет особым, если функция дважды непрерывно дифференцируема и не изменяет знака.

12